Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Lo que comentas pasa siempre que plantees el cociente incremental en una funcion continua, es decir $f(x) - f(a) \to 0$ cuando $x \to a$ y $\frac{1}{x-a}$ no existe cuando $x \to a$ (aunque se pueden estudiar los limites laterales para ver que son $\pm \infty$). En otras palabras siempre es una indeterminación (si $f$ es continua)

En este caso la idea es plantar el cociente incremental por limite laterales ay que hay una funcion valor absoluto en la función $f$

$\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{x}{1+x^2}} \times \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}} \times \sqrt{\frac{1}{x^2+1}} = +\infty$.

Por tanto no existe la derivada.

Si calculas el limite lateral en $0^{-}$ obtendras $-\infty$

Saludos