Consultas de pruebas anteriores

La derivada de $f$ en $0$ se define como el límite (en el caso de que exista):
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$.
Si la función $f$ está definida en un entorno de $0$ y es derivable en $0$, entonces se puede cambiar $x$ por $-x$ en límite y da exactamente lo mismo ya que $(x\to 0) \Leftrightarrow (-x\to 0)$, es decir:
$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(-x)-f(0)}{-x}$
Entonces, en caso de que $f$ sea derivable en $0$,
$2f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}+\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(-x)-f(0)}{-x}$
$=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}+\lim\limits_{x\to 0}\frac{-f(-x)+f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)-f(-x)+f(0)}{x}=a$
En esta última igualdad se cancela $f(0)$ y se usa la hipótesis del ejercicio.

En general el límite de la definición de derivada es indeterminado del tipo $0/0$, pero esto no quiere decir que no exista.