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El gran tema con usar la ecuación de estado como vos sugerís es que siempre tenemos 2 incógnitas, en ningún momento obtuvimos la cantidad de moles. Según el planteo que yo hice tampoco necesitamos calcular las temperaturas del estado 1 ni del 2.

Estuve tremendo rato pensando en una manera de conseguir $P_3$ como vos sugerís, masajeando las ecuaciones a ver si aparece algo y no me sale. Si hay una manera no se me ocurre cómo, seguro la letra del ejercicio fue diseñada para que el estudiante deba conseguir estos datos de la forma en que yo lo plantié o una similar.

Ojo, ahora que tenes $P_3$ podes despejar $n$, y ya teniendo $n$ podes conseguir $T_1$ y $T_2$. $n$ te va a ser necesario para calcular la entropía.