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Hola, primero que nada hay que calcular el intercambio de calor. Si el piston se comprime significa que la temperatura del gas disminuyó. Todo el calor perdido por el gas es el ganado por el hielo.

Tenemos que el $Q_{h}=m_{h}.C_{h}.\Delta T+m_{h}.L_{f}=25440.6$ donde $\Delta T=42K$. Todo el calor ganado por el hielo es el calor perdido por el gas, entonces $Q_{Gas, Total}=-Q_{Hielo}$

Claramente hay tres estados y dos procesos, una compresión a $P$ ctte(1-2) y una presurización a $V$ ctte(2-3). Los tres estados son inicial(1), justo cuado toca los soportes(2) y final(3)

Podemos calcularnos el trabajo en el proceso 1-2 con $W_{1-2}=-\int_{V_1}^{V_2} P.dV=-P\int_{V_1}^{V_2} dV=-P_{1}(V_{2}-V_{1})=6847.942254 J$. En el proceso 2-3 no hay trabajo porque no hay cambio de volumen, entonces $W_{2-3}=0$. Podes convencerte pensando en el diagrama PV, el trabajo es el área debajo de la curva que describe un proceso, una presurización a $V$ ctte es una recta vertical, entonces no hay área bajo esa recta.

Podemos calcular el $Q_{1-2}$ con $Q_{1-2}=n.Cp.\Delta T$, $P_{1}.V_{1}=n.R.T_{1}$ y $P_{2}.V_{2}=n.R.T_{2}$. Resto estas dos ecuaciones de estado y me queda $P_{2}.V_{2}-P_{1}.V_{1}=n.R(T_{2}-T_{1})=n.R.\Delta T$. Sabemos que $C_P=\frac {7}{2}.R$ entonces nos queda $Q_{1-2}=\frac {7}{2}(P_{2}.V_{2}-P_{1}.V_{1})=-23967079789 J$

Ya tenemos $Q_{T}$ y $Q_{1-2}$, podemos calcular el que nos falta con $Q_{2-3}=Q_{T}-Q_{1-2}=-1472.80211 J$. Con eso ahora podemos obtener la presión final.

El $Q_{2-3}$ se puede calcular usando $Q_{2-3}=n.C_{V}.\Delta T=n.C_{V}.(T_{3}-T_{2})$ Sabemos que $C_V=\frac {5}{2}.R$ entonces de la ecuación de estado podemos despejar la temperatura y nos queda $T=\frac {P.V}{n.R}$. Insetamos esto en la otra ecuación y obtenemos $Q_{2-3}=n.\frac {5}{2}.R(\frac {P_{3}.V_{2}}{n.R}-\frac {P_{2}.V_{2}}{n.R})$. Sabemos todo de ahí menos la presión final, y si la despejamos obtenemos $P_{3}=58051,0917 Pa$

Te dejo el resto para vos, espero que se halla entendido el razonamiento. Si no decime y vemos