2022, ejercicio 2, partes a) y b)

2022, ejercicio 2, partes a) y b)

de Francesca Primavesi Kaminski -
Número de respuestas: 2

Hola! Tengo una duda respecto a la demostración del ejercicio 2 a) y b) que se da en la solución. 

En lo que está marcado con violeta (a) no entiendo por que en (∗1) dice que se debe cumplir primero el existe (∃) y después el para todo(∀), pero cuando aplica esto para probar lo de M2 los usa al revés, es decir primero el para todo(∀) y después el existe (∃). 

Luego en el ejercicio b no entiendo por que para probar lo pedido usa un existe (∃), cuando en (∗2) dice para todo(∀).


En respuesta a Francesca Primavesi Kaminski

Re: 2022, ejercicio 2, partes a) y b)

de Guillermo Calderon - InCo -

Hola Francesca:

En ambos casos, pasa por entender bien como pasamos de una propiedad (en el metalenguaje) a su negación.

En el caso violeta tenemos que:

  • M ⊧ α ⇔ (∃a ∈ |M|)(∀b ∈ |M|) a = b

Esto equivale a:

  • M ⊭ α ⇔ (∀a ∈ |M|)(∃b ∈ |M|) a ≠ b

Notar que estamos considerando los símbolos negados ⊭ y ≠ además de invertir los cuantificadores.

En el caso celeste tehemos:

  • M ⊧ β ⇔ (∀a ∈ |M|) a ∈ Pᴹ

considerando la negación:

  • M ⊭ β ⇔ (∃a ∈ |M|) a ∉ Pᴹ

En ambos casos se trata de razonamiento en el meta lenguaje que se admite como válido y no necesita mayor justificación.