Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Sobre el ejercicio 4 VF

Primero observa que la funcion F en realidad se puede definir en todo $\mathbb{R}$ y es derivable, por mas que se estudie solo en $[0,2\pi]$. Ten en cuenta que cuando estudias extermos de una función derivable en un intervalo cerrado (en este caso $[0,2\pi]$) el mínimo se puede dar en el borde del intervalo sin que la derivada de la función sea 0.

Estudiemos este caso de forma mas conceptual. La función $f(t) = t^2 + \sin^2(t) \geq 0$ por tanto, como mencionaste $F^{\prime}(t) \geq 0$ para todo $t$ (en realidad habias dicho positiva en vez de no negativa, pero se puede llegar a la misma conclusión).

En estas condiciones la función $F$ es monótona creciente, luego en un intervalo cerrado $[a,b]$ se tiene que el mínimo de $F$ es $F(a)$ y el máximo es $F(b)$.

Sobre el 2 MO

Para encontrar los extremos estudiamos las raíces de las derivadas, y luego evaluamos $f$ en ellas y en los extremos del intervalo.

Las raíces de la derivada son $1$ y $2$

Por lo que tenemos que evaluar $f$ en $0$, $1$ y $2$

$f(0) = 1$, $f(1) = \frac{1}{e}$ y $f(2) = \frac{3}{e^2}$.

Tenemos entonces que el mínimo es $\frac{1}{e}$ y el máximo es $1$

Cualquier cosa vuelve a escribir

Saludos