ejercicio 1 práctico 11

ejercicio 1 práctico 11

de Ayelén Larrosa Laporta -
Número de respuestas: 6

Hola, en este ejercicio yo me tome las coordenadas en el versor i,j y k de la distancia a la ciudad. Lo que no entiendo es si la velocidad que es hacia el este, me la tendría que tomar solo en i. Porque en ese caso no tendría momento angular en j y k el avión no? Gracias 

En respuesta a Ayelén Larrosa Laporta

Re: ejercicio 1 práctico 11

de Juan Llaguno -
Buenas Ayelén,

Efectivamente, si te tomas coherentemente los versores \hat{i} y \hat{j} para que coincidan con el Este y Norte respectivamente, entonces la velocidad solo tiene componente en \hat{i}. Sin embargo esto tiene como consecuencia justo lo contrario a lo que decís, porque el momento angular solo tendría componentes es la dirección \hat{j} y \hat{k}, no teniendo componente en la dirección \hat{i}. Esto proviene del hecho que el momento angular lo definimos a partir de un producto vectorial. De forma general nos quedaría:

\vec{L} = \vec{r}\times m\vec{v}\quad \Longrightarrow \quad \vec{L} = (r_x\hat{i}+r_y\hat{j}+r_z\hat{k})\times mv\hat{i}

De ese producto vectorial el término r_x\hat{i}\times mv\hat{i} no aporta porque esos vectores son colineales (el ángulo que se forma entre ellos es 0) pero los otros dos si aportan, dando resultados en las componentes \hat{j} y \hat{k}.

Espero que con esto puedas llegar al resultado, pero sino volve a consultar.
Saludos,
Juan Llaguno
En respuesta a Juan Llaguno

Re: ejercicio 1 práctico 11

de Victoria Analia Olivera Romero -
Hola, estoy intentando con este ejercicio pero el valor que está en la solución para la dirección y (norte) me da en z (arriba), y no me doy cuenta como hacer el cálculo para la dirección y (entiendo que necesito el ángulo entre la distancia y la velocidad pero no se cómo sacarlo).
En respuesta a Victoria Analia Olivera Romero

Re: ejercicio 1 práctico 11

de Alejandro Silva -
Buenos días,

En primer lugar recordemos la definición de momento angular, la cual depende de algún punto de referencia, en este caso  0 .

\vec{L}_0 = \vec{r} \times \vec{p}

Seguramente como recuerdas, si queremos hallar el módulo del momento angular este nos queda de la forma

|\vec{L}_0|= |\vec{r}| |\vec{p}| sin(\alpha)

donde  \alpha es el ángulo que entre   \vec{r} y \vec{p}

Sin embargo, no es la única forma de hallar el momento angular. Otra forma es hacer el producto vectorial escribiendo los vectores  \vec{r} y  \vec{p}
en una base de versores, vamos a hacer esto.

En este caso si consideramos los versores en este ejercicio como  \{ \hat{i},\hat{j},\hat{k} \} en las direcciones este, norte y arriba respectivamente, podemos escribir los vectores  \vec{r} y  \vec{p} .

Como dice la letra:



Los vectores nos quedan de la forma 

\vec{r} = \left( \frac{100 km}{\sqrt{2}} \hat{i} \right) -  \left(\frac{100 km}{\sqrt{2}} \hat{j}\right)  + (3000m) \hat{k}   

\vec{p} = 10000kg 300 \frac{km}{h} \hat{i}

Ahora resta hacer la cuenta del producto vectorial, eso te lo dejo para vos, pero mira este ejemplo de como trabajar con versores.

\vec{a} = a_x \hat{i} +  a_y \hat{j}+  a_z \hat{k}
\vec{b} = b_x \hat{i} +  b_y \hat{j}+  b_z \hat{k}

\vec{a} \times \vec{b} = (a_x \hat{i} +  a_y \hat{j}+  a_z \hat{k} ) \times ( b_x \hat{i} +  b_y \hat{j}+  b_z \hat{k} )

El producto vectorial no es conmutativo (no podemos cambiar el orden), pero si podemos usar la propiedad distributiva.

\vec{a} \times \vec{b} = a_x \hat{i} \times ( b_x \hat{i} +  b_y \hat{j}+  b_z \hat{k} ) +  a_y \hat{j} \times ( b_x \hat{i} +  b_y \hat{j}+  b_z \hat{k} ) +  a_z \hat{k} \times ( b_x \hat{i} +  b_y \hat{j}+  b_z \hat{k} ) 


Como los versores son ortogonales entre sí, tenemos que    \hat{i} \times  \hat{i}  = 0,    \hat{j} \times  \hat{j}  = 0 y    \hat{k} \times  \hat{k}  = 0. De manera que solo sobreviven los productos cruzados.

\vec{a} \times \vec{b} = a_x \hat{i} \times ( b_y \hat{j}+  b_z \hat{k} ) +  a_y \hat{j} \times ( b_x \hat{i} +  b_z \hat{k} ) +  a_z \hat{k} \times ( b_x \hat{i} +  b_y \hat{j}) 

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Te invito a hacer la cuenta 

\vec{r} \times \vec{p} con los vectores que hallamos más arriba.
En respuesta a Alejandro Silva

Re: ejercicio 1 práctico 11

de Victoria Analia Olivera Romero -
Alejandro, no entiendo de dónde sale esa √2 en los versores, creo que eso es lo que me está faltando.
En respuesta a Victoria Analia Olivera Romero

Re: ejercicio 1 práctico 11

de Alejandro Silva -
Buenas, si tengo un vector de largo r, en la dirección noreste por ejemplo.

Si descompongo el vector:

\vec{r} = r cos(\theta) \hat{i} + r sen(\theta) \hat{j}

Como el ángulo es 45°, tanto el seno como el coseno de 45° es raíz de dos.

Saludos,
A. Silva