Hola:
Te paso alguna sugerencia de cómo encarar esa parte:
Queremos probar:
M ⊧ φ ⇒ M ⊧ (∀x)φ
Te sugiero considerar dos casos:
Caso 1 : x ∈ FV(φ).
Caso 2 : x ∉ FV(φ)
En el caso 1, se observa que las clausuras de φ y (∀x)φ son iguales y por lo tanto tienen los mismo modelos.
En el caso 2, la x no ocurre libre en φ.
Se sugiere
- clausurar ambas fórmulas (las clausuras no son iguales)
- aplicar 2.4.5 a ambas por cada cuantificador universal
usar el hecho de que cualquier sustitución de x no afecta a la fórmula φ:
φ[t/x] = φ
Espero que ayude, cualquier cosa volvé a preguntar.