Buenas Noah. Te explico por qué la opción correcta es la C. Supone que tenés una
integrable en
, entonces la función
, definida por
con
, tiene las siguientes propiedades:
1)
es continua
2) Si
, entonces
es monótona creciente
3) Si
, entonces
es monótona decreciente
Sabiendo que
es continua, descartás la B, la D y la F. Como
en el primer cuadrado, descartás la E, donde
es estrictamente creciente. Entonces te queda la A y la C, y ambas cumplen todo lo de arriba.
Para descartar la A, supone que la cuadrícula es de longitud 1. Entonces, si fuera la opción A, tenés que
, por lo que, en magnitud, las áreas debajo de la curva de
son iguales para el primer y el segundo cuadrado. Esto es falso porque el área debajo de la curva en el primer cuadrado es mayor. Para verificarlo podés hacer las cuentas viendo que la gráfica de f es un cuarto de circunferencia de radio 1 en ambos cuadrados.
Te paso un link de Desmos para que observes las funciones en cuestión. Saludos.
https://www.desmos.com/calculator/h1mycjkkcq?lang=es
![f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/646efb1e019945626533a3260ddd81f7.png)
![[a,b] [a,b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![g(x) g(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png)
![g(x)=\intop\nolimits_{a}^{x} f(t)dt g(x)=\intop\nolimits_{a}^{x} f(t)dt](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/6d496e06352fe2b847f3cce3967d0300.png)
![x \in [a,b] x \in [a,b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/af3c1adca188345d2a91c0d13a891b9f.png)
1)
![g(x) g(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png)
2) Si
![f(x) \geq 0 f(x) \geq 0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/3dc6566dea851bc9c8623716220abcac.png)
![g(x) g(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png)
3) Si
![f(x) \leq 0 f(x) \leq 0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/04e7c53721f389336749c2d772ab31a6.png)
![g(x) g(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png)
Sabiendo que
![g(x) g(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png)
![f(x) \leq 0 f(x) \leq 0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/04e7c53721f389336749c2d772ab31a6.png)
![g(x) g(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png)
Para descartar la A, supone que la cuadrícula es de longitud 1. Entonces, si fuera la opción A, tenés que
![\intop\nolimits_{0}^{2} f(t)dt= \intop\nolimits_{0}^{1}f(t)dt + \intop\nolimits_{1}^{2}f(t)dt=0 \intop\nolimits_{0}^{2} f(t)dt= \intop\nolimits_{0}^{1}f(t)dt + \intop\nolimits_{1}^{2}f(t)dt=0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/bc26a9133464b9a421f3bc57d05d18a1.png)
![f(x) f(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png)
Te paso un link de Desmos para que observes las funciones en cuestión. Saludos.
https://www.desmos.com/calculator/h1mycjkkcq?lang=es