Primer parcial 2023 primer sementre V4 MO4

Primer parcial 2023 primer sementre V4 MO4

de Noah Gonzalo Gutierrez Perez -
Número de respuestas: 1

Buenas, no estaría logrando entender que la opción correcta sea la "c", con la pirmera parte de la gráfica llegué a la conclusión crrecta, pero la segunda parte de la integral no debería ser positiva al serlo su función original? no se si mi problema está en tomar f como 2 funciones distintas y por lo tanto pensar en su integral por separado, o si debería considerarlas juntas y como la sección negativa es mayor a la positiva, entonces queda toda la integral negativa.

En respuesta a Noah Gonzalo Gutierrez Perez

Re: Primer parcial 2023 primer sementre V4 MO4

de Lucas Goulart D'Alessandro -
Buenas Noah. Te explico por qué la opción correcta es la C. Supone que tenés una f:[a,b]  \rightarrow  \mathbb{R} integrable en [a,b], entonces la función g(x), definida por g(x)=\intop\nolimits_{a}^{x} f(t)dt con x \in [a,b], tiene las siguientes propiedades:

1) g(x) es continua
2) Si f(x) \geq 0, entonces g(x) es monótona creciente
3) Si f(x) \leq 0, entonces g(x) es monótona decreciente

Sabiendo que g(x) es continua, descartás la B, la D y la F. Como f(x) \leq 0 en el primer cuadrado, descartás la E, donde g(x) es estrictamente creciente. Entonces te queda la A y la C, y ambas cumplen todo lo de arriba.

Para descartar la A, supone que la cuadrícula es de longitud 1. Entonces, si fuera la opción A, tenés que  \intop\nolimits_{0}^{2} f(t)dt= \intop\nolimits_{0}^{1}f(t)dt +  \intop\nolimits_{1}^{2}f(t)dt=0 , por lo que, en magnitud, las áreas debajo de la curva de f(x) son iguales para el primer y el segundo cuadrado. Esto es falso porque el área debajo de la curva en el primer cuadrado es mayor. Para verificarlo podés hacer las cuentas viendo que la gráfica de f es un cuarto de circunferencia de radio 1 en ambos cuadrados.

Te paso un link de Desmos para que observes las funciones en cuestión. Saludos.

https://www.desmos.com/calculator/h1mycjkkcq?lang=es