Hola Santiago.
Si 0 es val.p., esto quiere decir que existe un
tal que
, o sea que
.
Esto nos dice que
no es inyectiva y por tanto no puede ser invertible.
Si 0 no es val. p., entonces el único
tal que
es el vector nulo y por tanto
es inyectiva.
El teorema de las dimensiones nos dice que si dominio y codominio tienen la misma dimensión (como en el caso de los operadores donde dominio y codominio son el mismo
), si es inyectiva entonces también sera sobreyectiva y por tanto biyectiva.
La segunda pregunta también tiene que ver con el teorema de las dimensiones: el rango de una TL
es la dimensión del subespacio
.
Supongo (no he visto la letra) que
, de donde
, y recuerda que
.
Espero haber ayudado a aclarar las dudas.
Saludos
J.
Si 0 es val.p., esto quiere decir que existe un
![v\neq O v\neq O](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/9f32679b3ecd91840f180697334c571a.png)
![T(v)=O T(v)=O](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/c224eec27518d707d57f7493d11adc07.png)
![v\in N(T) v\in N(T)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/d7238b29d29a9edbd7aed905ccaee9e6.png)
Esto nos dice que
![T T](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
Si 0 no es val. p., entonces el único
![v v](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.png)
![T(v)=0v=O T(v)=0v=O](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/7f4b491d560e8a5651f32016df8b98b4.png)
![T T](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
El teorema de las dimensiones nos dice que si dominio y codominio tienen la misma dimensión (como en el caso de los operadores donde dominio y codominio son el mismo
![V V](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
La segunda pregunta también tiene que ver con el teorema de las dimensiones: el rango de una TL
![T T](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
![Im(T) Im(T)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/aea3be7f08555b140fdc2e44be3a1ec5.png)
Supongo (no he visto la letra) que
![dim(V)=4 dim(V)=4](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/3576d7b6b5cd7162f47d706d6f6261e9.png)
![dim(N(T-3Id))=1 dim(N(T-3Id))=1](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/47123eeec8fee77ee01d2c3866628745.png)
![N(T-\lambda Id)=S_{\lambda} N(T-\lambda Id)=S_{\lambda}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/a0997d0490354de3f803f09a8d31a6af.png)
Espero haber ayudado a aclarar las dudas.
Saludos
J.