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Hola Santiago.
Si 0 es val.p., esto quiere decir que existe un $v\neq O$ tal que $T(v)=O$, o sea que $v\in N(T)$.
Esto nos dice que $T$ no es inyectiva y por tanto no puede ser invertible.
Si 0 no es val. p., entonces el único $v$ tal que $T(v)=0v=O$ es el vector nulo y por tanto $T$ es inyectiva.
El teorema de las dimensiones nos dice que si dominio y codominio tienen la misma dimensión (como en el caso de los operadores donde dominio y codominio son el mismo $V$), si es inyectiva entonces también sera sobreyectiva y por tanto biyectiva.
La segunda pregunta también tiene que ver con el teorema de las dimensiones: el rango de una TL $T$ es la dimensión del subespacio $Im(T)$.
Supongo (no he visto la letra) que $dim(V)=4$, de donde $dim(N(T-3Id))=1$, y recuerda que $N(T-\lambda Id)=S_{\lambda}$.
Espero haber ayudado a aclarar las dudas.
Saludos
J.