duda con la función 1/z

duda con la función 1/z

de Nataly Melanie Ruber Maimo -
Número de respuestas: 1

hola, tengo dudas sobre esta función: si tomamos Ω= C - {0}, como Ω tiene agujero entonces la integral de 1/z en una curva cerrada alrededor de Ω no puede ser 0, y esa función no tiene primitiva, no puede ser holomorfa. Entonces, para que la integral de 1/z alrededor de una curva cerrada sea cero, debe ser holomorfa en Ω, y además Ω debe ser simplemente conexa en la zona de la curva cerrada. O sea, la curva no puede contener agujeros. Entonces en este ejercicio que encontré

me preguntaba cómo podía ser 0 la integral, ya que A contiene agujero en 0 (cuando x=0, y=0 entonces). Se me ha ocurrido que el camino cerrado justo no encierre los agujeros que tenga A , pero no me doy cuenta qué camino cerrado podía ser

En respuesta a Nataly Melanie Ruber Maimo

Re: duda con la función 1/z

de Gabriel Mello -
Hola Nataly.

Veo que esta pregunta es del año pasado pero ya que nadie contestó lo contesto por si alguien más tiene la misma duda.

Recordá que un conjunto es simplemente conexo si toda curva cerrada simple es homotópica a un punto (es decir, se puede deformar continuamente a un punto). En el caso del ejercicio que planteás el plano queda dividido en 2 mitades, una por encima de la parábola y otra por debajo. Cualquier curva cerrada simple contenida en A necesariamente va a estar toda contenida arriba o abajo de la parábola (si hubieran al menos 1 punto en cada mitad, como la curva es continua por Bolzano tendrías un punto donde cortaría la parábola por lo que no estaría contenida en A). Luego no hay forma de encerrar al 0 con ninguna curva contenida en A.

Saludos,
Gabriel