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Lo que pasa es que la exponencial compleja $e^{jn\theta_{0}}$, con $\theta_{0} = \frac{2\pi}{N}$ es periódica de periodo $N$ por lo que para calcular los coeficientes de Fourier en el caso discreto solo hay que sumar sobre un periodo, ya que luego tanto los valores de $e^{jn\theta_{0}}$ como de $x[n]$se vuelven a repetir; lo mismo pasa con la base $e^{jk\theta_{0}n}$, por lo que la síntesis de la señal $x[n]$ no se escribe descompuesta sobre una base infinita, sino que sobre una finita, en un periodo.
Me parece que hay un error en la letra y debería decir " .... son los coeficientes de Fourier de $x[n]$, $y[n]$ y $z[n]$ ... "
Vos tenes que $a_k = \frac{1}{N}  \sum_{n=\prec N\succ}x[n]e^{-jk\theta_{0}n}$ , $b_k = \frac{1}{N} \sum_{n=\prec N\succ}y[n]e^{-jk\theta_{0}n}$ , $c_k = \frac{1}{N} \sum_{n=\prec N\succ}\sum_{r=\prec N\succ}x[r]y[n-r]e^{-jk\theta_{0}n}$.
Ahora $a_k  b_k = \frac{1}{N^2} (\sum_{n=\prec N\succ}x[n]e^{-jk\theta_{0}n})( \sum_{n=\prec N\succ}y[n]e^{-jk\theta_{0}n})$. Pensando como quedaría lo anterior si agrupas lo que multiplica a cada $x[r]$ y sumando sobre cada $r =\prec N\succ$
$a_k  b_k = \frac{1}{N^2} \sum_{r=\prec N\succ}(x[r]e^{-jk\theta_{0}r} \sum_{n=\prec N\succ}y[n-r]e^{-jk\theta_{0}(n-r)})$ Acá no tenes problema con $y[n]$ ni con $e^{-jk\theta_{0}n}$ porque como son periódicas de periodo $N$ el que las corras r no afecta a la igualdad. Como $x[r]e^{-jk\theta_{0}r}$ no depende de $n$,lo podes meter dentro de la segunda sumatoria y te queda $a_k  b_k = \frac{1}{N^2}\sum_{r=\prec N\succ}\sum_{n=\prec N\succ}x[r]e^{-jk\theta_{0}r}y[n-r]e^{-jk\theta_{0}(n-r)} = \frac{1}{N^2}\sum_{r=\prec N\succ}\sum_{n=\prec N\succ}x[r]y[n-r]e^{-jk\theta_{0}n}$.
Finalmente intercambiando las sumatorias $a_k  b_k = \frac{1}{N^2}\sum_{n=\prec N\succ}\sum_{r=\prec N\succ}x[r]y[n-r]e^{-jk\theta_{0}n} = \frac{c_k}{N}$

La propiedad de las series de Fourier de la convolución periódica es exactamente lo que demostrás en este ejercicio.

Si hay algún error, les agradezco me lo hagan saber.

Espero se entienda bien, un saludo.

Tengo una duda sobre algo que ya aprovecho a preguntar acá. Si tenés dos señales periódicas, de igual periodo, entonces no podés definir la convolución como la sumatoria de $-\infty$ a $+\infty$ ¿No? Porque si sobre un periodo te da distinto de cero entonces la convolución te daría infinito en todos esos puntos y cero si la convolución te diera cero en un periodo, porque las señales no tienen soporte acotado y para obtener la convolución habría que sumar sobre todos los periodos, o sea infinitos, un valor distinto de cero constante (o cero en el otro caso).