Hola.
La idea es que se apoyen en la parte anterior. Una de las formas de ver que una suma de subespacios es directa y que da todo
![V V](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
, es ver que si tomamos una base de cada subespacio
![S_{\lambda_i} S_{\lambda_i}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/aec12427ac3c0251dfb577c280766486.png)
y las unimos, obtenemos una base de
![V V](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
. Como los
![S_{\lambda_i} S_{\lambda_i}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/aec12427ac3c0251dfb577c280766486.png)
son subespacios propios asociados a valores propios distintos, sabemos que si tomamos una base de cada subespacio y las unimos, eso da un conjunto linealmente independiente, por lo que tan solo hay que ver que genera
![V V](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
para que la suma directa dé
![V V](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
.
Teniendo en cuenta lo anterior, lo que falta hacer para ver que
![S_{\lambda_1} \oplus S_{\lambda_2} \oplus S_{\lambda_3} = V S_{\lambda_1} \oplus S_{\lambda_2} \oplus S_{\lambda_3} = V](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/6c6c2b6cfc9106b9d1cb68e690cbf141.png)
, es ver que cualquier vector de
![v\in V v\in V](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/f597bb2e018f9feb80df75d899613dbe.png)
puede escribirse como la suma de tres vectores
![v_i v_i](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/1df181eaa1bb40a0067c06ead197170d.png)
, cada uno en
![S_{\lambda_i} S_{\lambda_i}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/aec12427ac3c0251dfb577c280766486.png)
(esto es equivalente a que el conjunto linealmente independiente que mencionamos antes, obtenido de unir las bases de
![S_{\lambda_i} S_{\lambda_i}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/aec12427ac3c0251dfb577c280766486.png)
, sea generador de
![V V](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png)
).
Ahora, dado un vector
![v v](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.png)
, la parte anterior del ejercicio te da una forma de obtener tres vectores, cada uno en un
![S_{\lambda_i} S_{\lambda_i}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/aec12427ac3c0251dfb577c280766486.png)
, a partir de
![v v](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.png)
. La sugerencia es que trates de escribir a
![v v](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.png)
combinando esos tres vectores de alguna forma. Probá si con eso se te ocurre. Cualquier cosa podés volver a consultar por acá.
Saludos!