Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Buenas!

En este ejercicio tenemos que el extremo de integración en $z$ es $x^+y^2$, sin embargo en el "piso" tenemos un rectángulo, por lo que aplicar polares complica más. Vemos cómo resolverlo sin hacer este cambio de variable, nos piden calcular un volumen, por lo que integraremos la función $1$, con los extremos de integración que nos dan queda:

$V=\int_0^1\int_1^2\int_0^{x^2+y^2}1\phantom{a} dz\phantom{a}dy\phantom{a}dx$

Integramos según $z$ y queda:

$V= \int_0^1\int_1^2\int_0^{x^2+y^2}1\phantom{a} dz\phantom{a}dy\phantom{a}dx=\int_0^1\int_1^2 x^2+y^2dydx$

Ahora integramos según $y$:

$V=\int_0^1\int_1^2 x^2+y^2dydx = \int_0^1 yx^2+\frac{y^3}{3} \bigg|_{y=1}^{y=2}dx =\int_0^1\frac{8}{3}+2x^2-\frac{1}{3}-x^2dx = \int_0^1 \frac{7}{3}+x^2dx$

Finalmente para llegar al valor del volumen integramos según $x$:

$V= \int_0^1 \frac{7}{3}+x^2dx=\frac{7x}{3}+\frac{x^3}{3}\bigg|_0^1=\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$

Saludos!