Foro Práctico 9

Hola Diego. Un tema que veo que se repite en tus resoluciones es que hallás el polinomio de Taylor de una función y luego lo componés/multiplicás con el de otra para hallar el polinomio que buscás. Por ejemplo, en el ejercicio 1a), hallás el Taylor de coseno y después lo componés con el mismo polinomio. Hay que tener cuidado con eso, porque no necesariamente te lleva a buen puerto. Por ejemplo, como $\cos(0)=1$, si busco el Taylor de $\cos(\cos x)$ en $x=0$, el coseno de afuera "está evaluado" en $\cos(\cos(0))=\cos(1)$. O sea que si querés usar el camino de la composición, tendrías que componer el el Taylor de coseno en 0 con el Taylor de coseno en 1. Lo que te recomiendo que hagas (que entiendo que fue tu 3er intento de resolución del ejercicio) es tomar como función a $f(x)=1-\cos(1-\cos x)$ y le halles el Taylor a esa función. Es decir, la derives tantas veces como el orden del polinomio que quieras calcular y vayas evaluando en el punto en el que quieras calcular el polinomio ($x=0$ en ese ejercicio). Creo que tu problema con esa parte fue que solo fuiste hasta grado 2, cuando para poder hallar el límite tenés que hacer el Taylor de orden 4. Ojo con esta afirmación: "Desarrollando $\cos(1-\cos x)$ hasta grado 2 porque luego vi que no tenía sentido, ya que me quedaban expresiones multiplicadas por $\sin(x)$ y/o por $\sin(1-\cos x)$ y al evaluar en 0 no obtenía nada". Eso lo único que te dice es que el Taylor de orden 2 de $\cos(1-\cos x)$ en 0 es $p_2(x)=0$. No hay contradicción en eso; a pesar de su nombre el polinomio de Taylor de orden $n$ es un polinomio de grado menor o igual a $n$ (puede tranquilamente ser menor).

En el 1b), de nuevo, en vez de hacer el Taylor de $e^{\sin(x)}$ y luego multiplicarlo por $x^2$, te recomiendo hallar directamente el Taylor de $f(x)=x^2e^{\sin(x)}$ hasta el orden que necesites. El otro camino no está mal, pero es más fácil equivocarte en algún paso.

Fijate si esto te ayuda. Saludos