Foro Práctico 7

Buenas!

Pasar a coordenadas polares es útil en este caso, arrancaste bien, vemos como seguir.

$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} xy \log|y| = \lim_{\rho\rightarrow0^+} \rho^2\cos(\theta)\sin(\theta) \log|\rho \sin(\theta)|$

Para llegar a un resultado utilizando polares necesitamos obtener 0 por acotado, sino no podemos definir la existencia del límite. En este caso tenemos que $\rho^2 \rightarrow 0$ y por otro lado $\log|\rho \sin(\theta)| \rightarrow \infty$ por lo que podemos pasar dividiendo como su inverso a $\rho^2$:

$\lim_{\rho \rightarrow 0^+} \cos(\theta)\sin(\theta)  \frac{\log|\rho \sin(\theta)|}{\frac{1}{\rho^2}}$

Ahora tenemos una indeterminación del tipo infinito sobre infinito y podemos aplicar L'Hopital:

$\lim_{\rho \rightarrow 0^+} \cos (\theta) \sin (\theta) \frac{ \frac{ \sin(\theta) }{\rho \sin(\theta)} }{ - \frac{2}{\rho^3} } = \lim_{\rho \rightarrow 0^+} -\frac{1}{2} \cos(\theta) \sin(\theta) \rho^2  = 0$

Saludos!

Florencia