Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Buenas!

Para estudiar la monotonía estudiamos la inecuación $a_{n+1} \geq a_n$:

$a_{n+1} \geq a_n \Leftrightarrow \sqrt{ \frac{a_n}{2+a_n} } \geq a_n  \Leftrightarrow  \frac{a_n}{2+a_n} \geq a_n^2 \Leftrightarrow a_n \geq a_n^2(2+a_n) \Leftrightarrow  a_n^2 + 2a_n  - 1 \leq  0$

Por lo tanto, estudiando el signo de la inecuación anterior llegamos a la conclusión de que la sucesión es creciente sii $a_n \in [ -1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2} ]$ mientras que será decreciente sii $a_n \notin ( -1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2} )$. 

Para terminar falta ver cuando se encuentra en estos intervalos. 

Si el límite existe pueden suceder 2 cosas, la primera que sea infinito y la segunda que sea finito. 

Suponemos que es infinito, entonces se tiene que cumplir que $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \infty$ pero:

$\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n+1} = \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{\frac{a_n}{2+a_n}} = 1 \text{  con  } a_n \rightarrow \infty$

Ese límite también debería ser infinito por lo que si existe, el límite de la sucesión debe ser finito. Nos paramos en este caso y asumimos que dicho límite vale $L$, entonces tenemos que:

$\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n+1} = \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = L \Leftrightarrow  \sqrt{\frac{L}{2+L}} = L \Leftrightarrow L= -1 \pm \sqrt{2}$

Por lo que el límite existe y es finito, si $a_0=1$ entonces nos encontramos en la zona donde la sucesión es decreciente y por lo tanto el límite es $L= -1 + \sqrt{2}$, pero por la desigualdad habíamos obtenido que en esta zona es simplemente decreciente por lo que la opción C no nos sirve.

Luego si $a_0=\frac{1}{4}$ entonces partimos de la zona donde la sucesión es creciente y con límite $L= -1 + \sqrt{2}$ por lo que la opción correcta es la D. 

Saludos!

Florencia