Foro de Teórico

Buenas Bruno: si tienes un conjunto $A$ con $m$ elementos y un conjunto $B$ con $n$ elementos, entonces $Sob(m,n)$ denota la cantidad de funciones sobreyectivas de $A$ en $B$. Notar que los elementos de $A$ y $B$ son distinguibles, puesto que son distintos elementos dentro de un conjunto.

Por otra parte, $S(m,n)$ se define como $Sob(m,n)/n!$. Esta cantidad, denominada "números de Stirling de segunda especie", representa la cantidad de formas de poner los $m$ elementos diferentes del conjunto $A$ dentro de $n$ recipientes idénticos, donde se exige que cada recipiente debe contener al menos un elemento de $A$.

Notar que, como los recipientes son idénticos, el conteo de $S(m,n)$ se corresponde con sobreyectivas de $m$ en $n$ pero dividido $n!$, puesto que las distribuciones de elementos de $A$ no cambia ante permutaciones de los recipientes.

Dejo que pienses esta última observación, luego de comparar ambas definiciones. 

Cordiales saludos,
Pablo.

PD: Si les genera curiosidad, también existen los "números de Stirling de primera especie", y son relevantes para estudiar el orden de sucesiones en el infinito, o el "análisis asintótico". El libro de Philippe Flajolet titulado "Analytic Combinatorics" desarrolla generosamente este tema, y conecta algunos aspectos de conteo con el Análisis.