MD1-2S: Diferencia entre S(m,n) y Sob(m,n)

Hola, queria saber como diferenciar los casos para usaruna o la otra forma. Gracias

Re: Diferencia entre S(m,n) y Sob(m,n)

de Pablo Romero - jueves, 22 de septiembre de 2022, 17:50

Buenas Bruno: si tienes un conjunto

$A$ con

$m$ elementos y un conjunto

$B$ con

$n$ elementos, entonces

$Sob(m,n)$ denota la cantidad de funciones sobreyectivas de

$A$ en

$B$ . Notar que los elementos de

$A$ y

$B$ son distinguibles, puesto que son distintos elementos dentro de un conjunto.

Por otra parte,

$S(m,n)$ se define como

$Sob(m,n)/n!$ . Esta cantidad, denominada "números de Stirling de segunda especie", representa la cantidad de formas de poner los

$m$ elementos diferentes del conjunto

$A$ dentro de

$n$ recipientes idénticos, donde se exige que cada recipiente debe contener al menos un elemento de

$A$ .

Notar que, como los recipientes son idénticos, el conteo de

$S(m,n)$ se corresponde con sobreyectivas de

$m$ en

$n$ pero dividido

$n!$ , puesto que las distribuciones de elementos de

$A$ no cambia ante permutaciones de los recipientes.

Dejo que pienses esta última observación, luego de comparar ambas definiciones.

Cordiales saludos,
Pablo.

PD: Si les genera curiosidad, también existen los "números de Stirling de primera especie", y son relevantes para estudiar el orden de sucesiones en el infinito, o el "análisis asintótico". El libro de Philippe Flajolet titulado "Analytic Combinatorics" desarrolla generosamente este tema, y conecta algunos aspectos de conteo con el Análisis.