Foro Práctico 4

Buenas!
Todos los términos con $n$ pasan a ser $n+1$ al evaluar $a_{n+1}$ por lo que para aplicar el criterio del cociente calcularíamos el siguiente límite:
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ a_{n+1} }{ a_n } = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} }{ \frac{n!}{n^n} }$
Si reescribimos un poco este límite obtenemos:
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ (n+1)! }{ (n+1)^{n+1} } \frac{ n^n }{ n! } = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ (n+1)n! }{ (n+1)^{n}(n+1) } \frac{ n^n }{ n! }$
Cancelando los términos que se encuentran en el denominador y en el numerador el problema se reduce a:
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ n^n }{ (n+1)^{n} } = \lim_{x \rightarrow \infty} \biggl( \frac{ n }{ (n+1) } \biggr) ^n = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{ \biggl(1+ \frac{ 1 }{ (n) } \biggr) ^n }$
Por definición $e=\lim_{x \rightarrow \infty} \biggl(1+ \frac{ 1 }{ (n) } \biggr) ^n$ por lo tanto el valor de dicho límite es: $\frac{1}{e}$
Saludos!
Florencia