Foro Práctico 3.

Buenas Valentina,

Te contesto las dudas por separado.

1) El potencial debe ir a 0 en el infinito porque sino tendría un sistema con energía infinita. La idea es que para valores de $r$ muy grandes el aporte del dipolo debería ser despreciable. Imagínate que el medio dieléctrico no estuviera, entonces el potencial es el de un dipolo $\left(\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}\right)$ que decae con $r^2$, agregar el medio dieléctrico no me pude hacer que el potencial diverja en el infinito.

2) La idea es que a menos que se aclare, la carga libre siempre se puede considerar cero en la interfaz entre dos dieléctricos. Si existe carga libre en el sistema es porque de alguna forma se puso ahí, por lo tanto se debería aclarar en la letra.

3) Si, la carga inducida es la carga de polarización. Como bien decís la densidad superficial de carga de polarización se puede calcular como $\sigma_P=\vec{P}.\hat{n}$ y en este caso $\hat{n}=-\hat{e_r}$ porque es la normal saliente a la superficie. También es correcto lo que planteas para la polarización, $\vec{P} = \vec{D}-\epsilon_0\vec{E}=(\epsilon-\epsilon_0)\vec{E}$. Ese campo $\vec{E}$ es en la región donde hay dieléctrico entonces $\vec{E} = -\nabla\phi_2$ donde $\phi_2(r,\theta)$ es el potencial en la región con dieléctrico. Entonces,
$\sigma_P=\vec{P}.(-\hat{e_r})=-(\epsilon-\epsilon_0)\vec{E}.\hat{e_r}=(\epsilon-\epsilon_0)\nabla\phi_2.\hat{e_r}$. El gradiente de $\phi_2$ para coordenadas esféricas se puede buscar en la hoja de fórmulas, pero al estar multiplicado por el versor $\hat{e_r}$ solo sobrevive la componente $\hat{e_r}$ del gradiente, por lo tanto:
$\sigma_P=(\epsilon-\epsilon_0)\frac{\partial \phi_2}{\partial r}|_{r=R}$ donde el subíndice $r=R$ indica que tengo que evaluar la derivada en ese punto.

De manera general, para saber la dirección del campo (que asumo lo hallaste haciendo el gradiente de $\phi_2$) sale de $\vec{E} = -\nabla\phi_2$ ya que el gradiente de una función escalar da un vector, entonces este es el que define su dirección.

Espero te sea de ayuda,

Saludos,
Juan