Foro Práctico 3

Buenas!
En ese caso queremos una sucesión $a_n$ que contenga subsucesiones convergentes a $1,2,3,4$, que es lo mismo que pedir que estos valores sean puntos de acumulación.

Por ejemplo, que sea convergente a 1 significa que tomando ciertos $n_k$ se tiene que cumplir que $| a_{n_k} - 1| < \epsilon$. 

Una forma de construir esta sucesión es ir alternando al conjunto $\{1,2,3,4\}$:

$1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,...$, es decir:

$a_0=1 \ \ a_1=2 \ \ a_2 = 3 \ \ a_3 = 4 \ \ a_4 = 1 \ \ a_5 = 2 \ \ a_6 =3 \ \ a_7 = 4$

De esta forma los $a_n$ con $n=4k \ k \in \mathbb{N}$ valen siempre 1 y por lo tanto convergen a 1 (por ser constante), los $a_n$ con $n=4k + 1 \ k \in \mathbb{N}$ valen $2$ y por tanto convergen a $2$ y así sucesivamente. Aparecen en este caso los múltiplos de 4 por tratarse de 4 puntos de acumulación.

Saludos!!

Florencia