Buenas!
Queremos resolver
![z^5=1 z^5=1](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/507400287edae9c7f906f2c2925369ab.png)
entonces tenemos que escribir ambos lados de la igualdad en notación polar.
Por un lado definimos
![z=\rho e^{i\theta} \Rightarrow z^5 = \rho^5 e^{i5\theta} z=\rho e^{i\theta} \Rightarrow z^5 = \rho^5 e^{i5\theta}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/cb67aba7694ea519862825960a09f989.png)
.
Por otro lado al 1 lo podemos escribir como:
![1=e^{i2\pi k} 1=e^{i2\pi k}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/574e6afb4982092d86eb954bf9b9247f.png)
con
![k \in \mathbb{Z} k \in \mathbb{Z}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/dcd79408472dd526ad1e50da80ab901c.png)
.
Por lo tanto tenemos:
![\rho^5 e^{i5\theta}=e^{i2\pi k} \rho^5 e^{i5\theta}=e^{i2\pi k}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/37ccd0435ab096d6dcfe9f0649f74505.png)
de donde salen dos igualdades:
- Una de los módulos:
![\rho^5=1 \rho^5=1](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/525a2738a14a815d8c8c6dabc3926754.png)
- Otra de los argumentos:
![i5\theta=i2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{2\pi k}{5} i5\theta=i2\pi k \Rightarrow \theta=\frac{2\pi k}{5}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/e2c992ea0e85e4db5d1f860c3bf6e910.png)
Entonces tendremos 5 posibles soluciones de igual módulo pero distintas fases. Cualquier otra duda vuelvan a preguntar :)
Saludos!!
Florencia