Hola, Nicolás
Para poder obtener las constantes A y ϕ, necesitamos dos condiciones iniciales: una para la posición x(0) y otra para la velocidad v(0). Si no conocemos esas dos condiciones, como bien te diste cuenta, no vamos a poder resolver el sistema y hallar ambas constantes.
No sé a qué te referís con los casos en que sólo nos dan una condición. En cualquier ejercicio donde se nos pida determinar la solución x(t), nos deben dar las dos condiciones.
Capaz podés compartirnos algún ejemplo concreto que te haya generado esta duda, para ver si la confusión está en otro lado. Puede suceder que ambas condiciones estén dadas en la letra, pero que una haya pasado desapercibida.
¡Saludos!