CDIVV - 1S: Consulta 1b

Buenas, hice el polinomio de Taylor y no sé como descomponer las derivadas parciales de las composiciones. Entiendo que tengo que aplicar regla de la cadena, pero no veo la forma de hacerlo en derivadas parciales. Saludos.

Re: Consulta 1b

de Rafael Parra - lunes, 20 de junio de 2022, 12:05

Hola Gonzalo, si consideramos

$h(x,y)= g(f(x,y))$ , el polinomio de Taylor de la función

$h:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R}$ esta dado por

$h(0,0) + \frac{\partial h}{\partial x}(0,0)x + \frac{\partial h}{\partial y}(0,0)y + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}(0,0)x^2 + \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y}(0,0)xy + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 h}{\partial y^2}(0,0)y^2.$

Donde

$h(0,0)= g(f(0,0))$

$\frac{\partial h}{\partial x}(0,0)= g'(f(0,0))\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$

$\frac{\partial h}{\partial y}(0,0)= g'(f(0,0))\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$

Para las segundas derivadas parciales, se tiene:

$\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}(x,y)= \frac{\partial }{\partial x}( \frac{\partial h}{\partial x} ) = \frac{\partial }{\partial x}(g'(f(x,y)) \frac{\partial f}{\partial x}(x,y))$

$= g''(f(x,y)) \frac{\partial f }{\partial x}(x,y) + g'(x,y) \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(x,y)$

las restantes se tratan de manera similar