Hola,
Bien. Como bien dices, el estimador de \( \theta \) por el método de los momentos es \( 2 \overline{X}_n \), entonces calcularemos la varianza de \( \hat{\theta}_n = 2 \overline{X}_n \):
Antes que nada, recordar que \( var(aX) = a^2 var(X) \) y que si \( X \) e \( Y \) son variables aleatorias independientes, entonces \( var(X+Y) = var(X)+var(Y) \). Entonces:
\( var(\hat{\theta}_n) = var \left( \frac{2}{n} \sum_i X_i \right) = \frac{4}{n^2} \sum_i var(X_i) \)
Recordar ahora que si \( X \sim U(a,b) \), entonces \( var(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \), así que en este caso \( var(X_i) = \frac{\theta^2}{12} \) y
\( var(\hat{\theta}_n) = \frac{4}{n^2} \sum_i \frac{\theta^2}{12}= \frac{4}{n^2} n \frac{\theta^2}{12}= \frac{\theta^2}{3n}. \)
Saludos