Ejercicio 9.

Ejercicio 9.

de Marco Liguori Hernandez -
Número de respuestas: 3

¡Buenas!

Estoy teniendo un poco de dificultad con el ejercicio 9. Vi los videos de práctico de Jazmín y Matías y aplique los consejos (como darse cuenta que T = max{X,Y} y S = min{X,Y}, también que X+Y=S+T, por lo tanto las esperanzas también cumplen esa relación) pero no me doy cuenta como calcular la esperanza de S. Con T podías hacerlo entendiendo que si T = max{X,Y} entonces la función de probabilidad de T es la función de probabilidad conjunta de X,Y. Pero S no cumple dicha propiedad ya que P(min{X,Y} >= s) no necesariamente es P(X >=s ; Y >=S) como en T.

De todas formas calculé E(T) derivando la F(t) e integrando la f(t) x s y me dío que indicaría que E(S) es ya que E(T) = E(X) + (Y) - E(T), pero ahí me estaría quedando trancado.

Desde ya muchas gracias, 

Saludos, Marco.

En respuesta a Marco Liguori Hernandez

Re: Ejercicio 9.

de Eduardo Canale -
Hola Marcos,
Efectivamente "P(min{X,Y} >= s) no necesariamente es P(X >=s ; Y >=S) como en T.", pero podés conciderar el complemento , o sea P(min{X,Y} >= s) = 1- P(min{X,Y} < s) y ahí sí aplicar la propiedad a P(min{X,Y} < s) .
Respecto a E(ST) ¿te salió?
Saludos
En respuesta a Eduardo Canale

Re: Ejercicio 9.

de Marco Liguori Hernandez -
Hola Eduardo,

Gracias por la respuesta. Con el complemento pude corroborar mi hipótesis de que E(S) = 1 / lambda1 + lambda 2 calculándola a partir de la definición de E(X) y su función de densidad.
A su vez calculé E(ST) y comprobé usando la definición y la función de densidad f(s,t) que efectivamente E(ST) = E(S).E(T), por lo tanto S y T son independientes.

Lo que no he podido calcular con certeza es P(S = T). Lo que se me ocurre es que si S y T son v.a continuas, entonces P(S - T = 0) = 0 ya que S - T es continua y la probabilidad de que tome un valor puntual es 0, pero no me convence. ¿Hay alguna forma de relacionar con la esperanza esta parte del ejercicio?..

Desde ya muchas gracias,

Marco.
En respuesta a Marco Liguori Hernandez

Re: Ejercicio 9.

de Eduardo Canale -
Hola Marco, bueno, paso a contestarte por partes:
la frase "P(S - T = 0) = 0 ya que S - T es continua y la probabilidad de que tome un valor puntual es 0," eso sería correcto si la resta de funciones AC fuera AC, pero no es necesariamente cierto, por ejemplo si tomas la misma variable su resta es discreta. Pero podrían haber otros ejemplos menos triviales. De todas formas por ese camino puede salir (de hecho sale) si piensas en el significado de S, de T y de la igualdad S=T.
Respecto a relacionarlo con la esperanza, también podrías usar un resultado que dice que si X ≥ 0, entonces X= 0 sin EX = 0.

Bueno, espero que te salga por alguno de los dos caminos!
Saludos,
Eduardo.