consultas para el parcial

consultas para el parcial

de Miguel Angel Martinez Recalde -
Número de respuestas: 4

Hola, quería consultar si me pueden explicar la respuesta del ejercicio 3 parte A /examen Julio 2021, porque no logro entender como el radio de convergencia es mas grande que R, siendo D(Zo,R) el disco donde esta definida f(z) y es holomorfa en ella. Adjunta las capturas del ejercicio. Gracias.

En respuesta a Miguel Angel Martinez Recalde

Re: consultas para el parcial

de Alejandro Bellati -
mmm, tal vez este ejemplo sea un poco clarificador:

f:D(0,1) \to \mathbb{C} tal que f(z) = e^z. El desarrollo en series de potencia de f en z=0 es \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}. El radio de convergencia es infinito! a pesar de que la función está definida solo en el disco de centro cero y radio 1.

Entonces en realidad lo que sucede es que si bien f está definida solo en un disco, si el radio de convergencia es más grande es porque f se puede extender, o sea, definir en un conjunto un poco más grande.

Aclara un poco?

De la demostración que dan no sé si tenes alguna duda?
En respuesta a Alejandro Bellati

Re: consultas para el parcial

de Miguel Angel Martinez Recalde -
Se entendió el ejemplo, no sé si te animas a explicar la demostración, porque me cuesta ver como el radio de convergencia es mayor a R. Gracias.
En respuesta a Miguel Angel Martinez Recalde

Re: consultas para el parcial

de Alejandro Bellati -
Mmmm no me gusta cómo está escrito, es más diría que no está bien explicado. Sería algo asi:

La serie de potencias de f, tiene como coeficientes a a_n = f^{(n)}(z_0)/n!. Por las estimativas de Cauchy \lvert a_n \rvert \leq M(R')/R'^n. Esto lo explican en el documento. Ahora si le llamo R al radio de convergencia de la serie, sabemos que:

1/R = \limsup \sqrt[n]{\lvert a_n \rvert} \leq \limsup\sqrt[n]{M(R')/R'^n} = 1/R'

Entonces R\geq R'