Buenas, tengo una consulta respecto a la parte b del ejercicio y es que no logro darme cuenta de porque en la solucion toman que T(a)=0 y T(b)=infinito.
La idea es encontrar una transformación de Mobius
que lleve el segmento
en
. Si uno consigue una transformación de Mobius asi, entonces como es biyectiva, el complemento de
va en el complemento de
, en otras palabras, manda
en
, que es lo deseado.
Ahora para mandar
en
hay varias opciones, pero lo que si o si debe ocurrir es que
,
o
y
. Te convence eso?
Otra cosa que debe ocurrir es que la recta que contiene al segmento
vaya en el eje real.
Saludos
![T:\mathbb{C} \cup \{\infty\} \to \mathbb{C} \cup \{\infty\} T:\mathbb{C} \cup \{\infty\} \to \mathbb{C} \cup \{\infty\}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/b34ba6f90e6afe442d90517e25c19c11.png)
![[a.b] [a.b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0c75f6114ded252a092a353dcd386aac.png)
![\{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \cup \{\infty\} \{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \cup \{\infty\}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/6d28d03f513bec452bab12d45c62609e.png)
![[a.b] [a.b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0c75f6114ded252a092a353dcd386aac.png)
![\{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \cup \{\infty\} \{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \cup \{\infty\}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/76e83097b3806de3ab7f5c620541a15d.png)
![\mathbb{C} - [a,b] \mathbb{C} - [a,b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/05f55203132d727a8b9b0c9cb638f4fe.png)
![\mathbb{C} - \{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \mathbb{C} - \{ (x,y): y=0, x \leq 0 \}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/3db14d3bda67bb28717b71fca3aa4c2a.png)
Ahora para mandar
![[a,b] [a,b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![\{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \cup \{\infty\} \{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \cup \{\infty\}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/6d28d03f513bec452bab12d45c62609e.png)
![T(a) = 0 T(a) = 0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/dda57871630f794e111556970226d7d2.png)
![T(b) = \infty T(b) = \infty](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8a5d418f7e1f3fc504561625595ad7e5.png)
![T(b)=\infty T(b)=\infty](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/dda6c6a7ecabd34000c216fe850004f6.png)
![T(a)=0 T(a)=0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/1dfd4638aa4f7818e50313952edf44b1.png)
Otra cosa que debe ocurrir es que la recta que contiene al segmento
![[a,b] [a,b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
Saludos
Bien ahora me queda mas claro, en las soluciones que encontré si no recuerdo mal solo marcaban la primera opción.
Respecto cual se va a infinito y cual al 0 depende de la forma en la que recorramos la curva no? osea si voy de b hasta a entonces T(b) se va al 0 y T(a) a infinito y sino viceversa? o como apilamos el plano complejo y lo podemos pensar como en la esfera estereográfica da igual?
Saludos
Respecto cual se va a infinito y cual al 0 depende de la forma en la que recorramos la curva no? osea si voy de b hasta a entonces T(b) se va al 0 y T(a) a infinito y sino viceversa? o como apilamos el plano complejo y lo podemos pensar como en la esfera estereográfica da igual?
Saludos
Entiendo, solo marcaban la primera opción pero las dos son válidas. El problema es que ellos marcan solo la primer opción porque imponen
. Creo que aca hay algo importante que entender, voy a ver si lo explico bien:
Si o si se debe cumplir alguna de las dos opciones:
1)
, ![T(b)=\infty T(b)=\infty](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/dda6c6a7ecabd34000c216fe850004f6.png)
2)
,
.
y si o si se debe cumplir:
3) la recta que contiene al segmento
debe ir a todo el eje real (con el infinito claro).
Tanto con 1) + 3) como con 2)+3) puedo conseguir una transformación de Mobius como la buscada. Con estas condiciones me aseguro que la recta que contiene al segmento
va en el eje real pero en principio podría ser que
vaya a
, o a la otra parte del eje real
. Entonces estas condiciones ( 1) + 2), o 1) + 3)), no alcanzan.
Ejemplos de condiciones que sí alcanzan:
A): 1) +
: esto alcanza, porque mandé tres puntos del segmento
en tres puntos del segmento real, entonces si o si la transformación de Mobius me manda el segmente
en un segmento del eje real. Como
;
y el punto medio de
va en
, entonces no queda otra que
.
B): 2) +
: veamos por qué esta opción alcanza. Es claro que
va a parar a un segmento del eje real cuyo borde son los puntos
y
. Hay dos segmentos del eje real que cumplen esto. Aca eje real siempre es junto con el infinito. Si le llamo
a la recta que contiene a
, lo que sucede es que
va para un segmento del eje real, y
va para el otro. Como
y
es claro que
va para el segmento
, entonces
va para el otro, como era deseado.
En fin, hay varias formas de encarar el ejercicio. La opción
termina dando
mientras que la opción B esta dando
(revisar, hice las cuentas acá en un papel).
Si recorro desde el punto
del segmento
hasta el punto
entonces en la opción A) estoy recorriendo desde
hasta
caminando por los reales negativos. La opción
hace lo contrario, camina para el otro lado, si por los reales negativos, pero partiendo desde
hasta
.
Entonces respecto a la pregunta "Respecto cual se va a infinito y cual al 0 depende de la forma en la que recorramos la curva no? o sea si voy de b hasta a entonces T(b) se va al 0 y T(a) a infinito y sino viceversa?, sí, es cierto, siempre y cuando te hayas asegurado que el interior del segmento
vaya para los negativos, que además es lo que pide la letra.
Decime si logré responderte
Saludos!
![T(\infty)=1 T(\infty)=1](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/98278c2a894f9d9a610db41a843a96b4.png)
Si o si se debe cumplir alguna de las dos opciones:
1)
![T(a) =0 T(a) =0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/f487a3de66e1fbee331d09ebe4a1b5e5.png)
![T(b)=\infty T(b)=\infty](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/dda6c6a7ecabd34000c216fe850004f6.png)
2)
![T(b)=0 T(b)=0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5ad9b28b341c9ac90796994ddb3955db.png)
![T(a)=\infty T(a)=\infty](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/fa528a9e8875ddb897656a39e6c19aa1.png)
y si o si se debe cumplir:
3) la recta que contiene al segmento
![[a.b] [a.b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0c75f6114ded252a092a353dcd386aac.png)
Tanto con 1) + 3) como con 2)+3) puedo conseguir una transformación de Mobius como la buscada. Con estas condiciones me aseguro que la recta que contiene al segmento
![[a,b] [a,b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![[a.b] [a.b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0c75f6114ded252a092a353dcd386aac.png)
![\{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \cup \{\infty\} \{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \cup \{\infty\}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/76e83097b3806de3ab7f5c620541a15d.png)
![\{ (x,y): y=0, x \geq 0 \} \cup \{\infty\} \{ (x,y): y=0, x \geq 0 \} \cup \{\infty\}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8f514193f626b8beea4b936f2ed790c0.png)
Ejemplos de condiciones que sí alcanzan:
A): 1) +
![T(\frac{a+b}{2}) = -1 T(\frac{a+b}{2}) = -1](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/7e0b9c8ba00b3fddd32abd7423568a5b.png)
![[a.b] [a.b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0c75f6114ded252a092a353dcd386aac.png)
![[a,b] [a,b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![a \mapsto 0 a \mapsto 0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/79cfa6ed3a5b5f64e42b7a7583c1ccb2.png)
![b \mapsto \infty b \mapsto \infty](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/3f9bb1b36d59393d2a08091577126d3e.png)
![[a,b] [a,b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![-1 -1](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88.png)
![T([a,b]) = \{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \cup \{\infty\} T([a,b]) = \{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \cup \{\infty\}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8132cd1b3a287546964d7589e5c4145b.png)
B): 2) +
![T(\infty) = 1 T(\infty) = 1](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/883f5a914cdfdd2ce446eeae53354d09.png)
![T([a,b]) T([a,b])](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5b29f4c72ae3dfa39a5bb68b29aa4b8e.png)
![\infty \infty](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/7ed9abff4dafd78d08e616c899412e92.png)
![0 0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png)
![r r](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png)
![[a.b] [a.b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0c75f6114ded252a092a353dcd386aac.png)
![[a,b] [a,b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![r - [a,b] r - [a,b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/a0ca09452eed5a8ac49cce964c140504.png)
![\infty \in r-[a.b] \infty \in r-[a.b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/d4d31dfd24679a7e9459d727974823e9.png)
![\infty \mapsto 1 \infty \mapsto 1](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/dc65c03230322e20919cfc9ad863cdfb.png)
![r-[a,b] r-[a,b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/ad1d8d56b1ca37b72d74630469cf9d55.png)
![\{(x,y): y=0, x\geq 0\} \cup \{\infty\} \{(x,y): y=0, x\geq 0\} \cup \{\infty\}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/18c3cf9e23a6eaeed062f9565eb3171a.png)
![[a.b] [a.b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0c75f6114ded252a092a353dcd386aac.png)
En fin, hay varias formas de encarar el ejercicio. La opción
![A A](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![\frac{z-a}{z-b} \frac{z-a}{z-b}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/c7f719d99b30a27fb3c44194e354d469.png)
![\frac{z-b}{z-a} \frac{z-b}{z-a}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/549772708b355da5f89cbaaba9c1db2a.png)
Si recorro desde el punto
![a a](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png)
![[a,b] [a,b]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![b b](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png)
![0 0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png)
![\infty \infty](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/7ed9abff4dafd78d08e616c899412e92.png)
![B) B)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0f90085c244d489fe37f230b1ee0cb14.png)
![\infty \infty](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/7ed9abff4dafd78d08e616c899412e92.png)
![0 0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png)
Entonces respecto a la pregunta "Respecto cual se va a infinito y cual al 0 depende de la forma en la que recorramos la curva no? o sea si voy de b hasta a entonces T(b) se va al 0 y T(a) a infinito y sino viceversa?, sí, es cierto, siempre y cuando te hayas asegurado que el interior del segmento
![(a,b) (a,b)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2d05e1f15387f87456155cd96cc06235.png)
Decime si logré responderte
Saludos!
Si, me quedo mucho mas claro.
Muchas gracias!
Saludos, Agustín.
Muchas gracias!
Saludos, Agustín.