Foro práctico 4

Entiendo, solo marcaban la primera opción pero las dos son válidas. El problema es que ellos marcan solo la primer opción porque imponen $T(\infty)=1$. Creo que aca hay algo importante que entender, voy a ver si lo explico bien:

Si o si se debe cumplir alguna de las dos opciones:

1) $T(a) =0$, $T(b)=\infty$
2) $T(b)=0$, $T(a)=\infty$.

y si o si se debe cumplir:

3) la recta que contiene al segmento $[a.b]$ debe ir a todo el eje real (con el infinito claro).

Tanto con 1) + 3) como con 2)+3) puedo conseguir una transformación de Mobius como la buscada. Con estas condiciones me aseguro que la recta que contiene al segmento $[a,b]$ va en el eje real pero en principio podría ser que $[a.b]$ vaya a $\{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \cup \{\infty\}$, o a la otra parte del eje real $\{ (x,y): y=0, x \geq 0 \} \cup \{\infty\}$. Entonces estas condiciones ( 1) + 2), o 1) + 3)), no alcanzan.

Ejemplos de condiciones que sí alcanzan:

A): 1) + $T(\frac{a+b}{2}) = -1$ : esto alcanza, porque mandé tres puntos del segmento $[a.b]$ en tres puntos del segmento real, entonces si o si la transformación de Mobius me manda el segmente $[a,b]$ en un segmento del eje real. Como $a \mapsto 0$; $b \mapsto \infty$ y el punto medio de $[a,b]$ va en $-1$, entonces no queda otra que $T([a,b]) = \{ (x,y): y=0, x \leq 0 \} \cup \{\infty\}$.

B): 2) + $T(\infty) = 1$: veamos por qué esta opción alcanza. Es claro que $T([a,b])$ va a parar a un segmento del eje real cuyo borde son los puntos $\infty$ y $0$. Hay dos segmentos del eje real que cumplen esto. Aca eje real siempre es junto con el infinito. Si le llamo $r$ a la recta que contiene a $[a.b]$, lo que sucede es que $[a,b]$ va para un segmento del eje real, y $r - [a,b]$ va para el otro. Como $\infty \in r-[a.b]$ y $\infty \mapsto 1$ es claro que $r-[a,b]$ va para el segmento $\{(x,y): y=0, x\geq 0\} \cup \{\infty\}$, entonces $[a.b]$ va para el otro, como era deseado.


En fin, hay varias formas de encarar el ejercicio. La opción $A$ termina dando $\frac{z-a}{z-b}$ mientras que la opción B esta dando $\frac{z-b}{z-a}$ (revisar, hice las cuentas acá en un papel).

Si recorro desde el punto $a$ del segmento $[a,b]$ hasta el punto $b$ entonces en la opción A) estoy recorriendo desde $0$ hasta $\infty$ caminando por los reales negativos. La opción $B)$ hace lo contrario, camina para el otro lado, si por los reales negativos, pero partiendo desde $\infty$ hasta $0$.

Entonces respecto a la pregunta "Respecto cual se va a infinito y cual al 0 depende de la forma en la que recorramos la curva no? o sea si voy de b hasta a entonces T(b) se va al 0 y T(a) a infinito y sino viceversa?, sí, es cierto, siempre y cuando te hayas asegurado que el interior del segmento $(a,b)$ vaya para los negativos, que además es lo que pide la letra.

Decime si logré responderte

Saludos!