Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Hola. La idea es usar el teorema de Taylor. Si $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es de clase $\mathcal{C}^2$ (es decir, si existen todas las derivadas parciales de $f$ hasta orcen 2 y son continuas) y le llamo $p_2(x,y)$ al polinomio de orden 2 de $f$ en un punto $(x_0,y_0)$, entonces el teorema de Taylor nos dice que:

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-p_2(x,y)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = 0$

En general el teorema se enuncia llamándole resto (de orden 2 en este caso) a la función $r_2(x,y) = f(x,y)-p_2(x,y)$ y se escribe como:

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{r_2(x,y)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = 0$

Entonces, en el ejercicio tenemos una función $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definida como $f(x,y) = x(y-1)^2 + \sin(x+y) +1$ y queremos ver qué polinomio de grado 2 tenemos que restarle a $f$ para que el límite de $f$ menos ese polinomio dividido $x^2+y^2$ sea 0. El teorema de Taylor nos asegura que el único polinomio que cumple eso es el de Taylor (es decir, el polinomio que tiene que aparecer restando para que ese límite sea 0 tiene que ser el polinomio de Taylor). Para resolver el ejercicio entonces basta con calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de $f$ en $(0,0)$ y sumar sus coeficientes.

Saludos