En este ejercicio se aplica varias veces el siguiente resultado:
- Γ es completo ⇔ existe una única valuación v que cumple v(Γ) = 1
Si queremos probar que Γ no es completo usando este resultado, tenemos que dar dos valuaciones que cumplan:
- v y v' son distintas
- v(Γ) = 1
- v'(Γ) =1
¿cómo defino una valuación? Alcanza con dar el valor para todas las letras proposicionales.
¿como pruebo que dos valuaciones son distintas? Alcanza con dar una fórmula φ tal que v(φ) ≠ v'(φ). Generalmente φ es una letra proposicional pero puede no serlo.
¿cómo pruebo que Γ es completo?
Tiene dos pasos:
- Dar una valuación v tal que v(Γ) = 1
- Probar que para toda v': v'(Γ) = 1 ⇒ v = v'
¿cómo se prueba que v=v'? Alcanza con probar que para toda letra proposicional tienen el mismo valor.
No hay dualidad de criterio. Son dos problemas distintos. En un caso queremos probar que no es completo y por lo tanto damos dos valuaciones distintas. En el otro caso queremos probar que sí es completo y por lo tanto probamos la unicidad de todas las valuaciones v que cumplen v(Γ)=1