Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Hola. Mi recomendación es que calcules esa área como el área limitada por la elipse menos el área limitada por la circunferencia de radio 2, como en el dibujo:

Ahí $D_1 = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2 \leq 4, x\geq y, y\geq 0\}$ y $D_2 = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4} \leq 1, x\geq y, y\geq 0\}$. Para la región $D_1$ hacés el cambio usual a polares. Fijate que eso hace que $\rho$ tenga que variar entre $0$ y $2$, mientras que la condición $0\leq y\leq x$ implica que $0 \leq \rho\sin\theta \leq \rho\cos\theta \Rightarrow 0 \leq \sin\theta \leq \cos\theta \Rightarrow 0\leq \tan\theta \leq 1 \Rightarrow \theta \in [0,\pi/4]$. Eso era obvio del dibujo, pero sirve para que veas por qué te dan el dato de la tangente. Para $D_2$ vas a tener que hacer el cambio a polares adaptada a la elipse, y ahí vas a llegar a que la condición $y\leq x$ es equivalente a que $\tan\theta \leq \sqrt{3}$ (por eso aparece ese otro dato).

Saludos