Foro práctico 9 - Derivadas y Extremos

Hola, tu función es $f(x) = \sqrt{9+x^{2}}$. Lo podés ver como una composición $h\circ g(x)$, siendo $h(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = 9+x^2$. Por la regla de la cadena $(h\circ g )'(x) = h'(g(x)) g'(x)$.

$h'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ y por lo tanto $h'(g(x)) = \frac{1}{2\sqrt{9+x^2}}$. Por otro lado la derivada de $g$ es $g'(x) = 2x$.

En definitiva, $f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{9+x^2}}$. Evaluás en $x=4$ y te da $f'(4) = \frac{8}{10} = 4/5.$
Por otro lado observá que $f(4) = 5$.
La recta tangente al gráfico en un punto $(x_0,f(x_0))$ tiene ecuación $y= f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$. Tenés que sustituir $x_0$ por $4$ y obtenés la solución.

Saludos.