Foro Práctico 10

Hola. Creo que el problema es que al plantear que en cilíndricas el $\rho$ varía entre 0 y 2 lo que estás haciendo es parametrizar una circunferencia de radio 2 (es decir, el par $x=\rho\cos \theta$, $y=\rho \sin \theta$ con $\rho \in [0,2]$, $\theta \in [0,2\pi]$ cubre una circunferencia de radio 2 en el plano $xy$). Fijate que, si te olvidás de la coordenada $z$, la intersección entre $z=x^2$ y $z=4-x^2-y^2$ es una elipse, no una circunferencia. Eso podés verlo igualando ambas expresiones: si $z$ tiene que ser igual a $x^2$ y a $4-x^2-y^2$, ambas curvas se van a cortar en los puntos cuyas coordenadas $x$ e $y$ cumplan que

$\displaystyle x^2=4-x^2-y^2 \Leftrightarrow 2x^2+y^2=4 \Leftrightarrow \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{4} = 1$

Eso último es la ecuación de una elipse de centro $(0,0)$ y ejes $\sqrt{2}$ en $x$ y $2$ en $y$. Hice un dibujo en Geogebra de estas superficies que tal vez te ayude, está acá:

https://www.geogebra.org/m/adber8cu

Si ponés el dibujo en la perspectiva vertical ("olvidándote" de la dimensión $z$), podés confirmar que esas cosas efectivamente se cortan en una elipse en $xy$.

Por lo tanto, mi sugerencia es que uses cilíndricas "adaptadas" a esa elipse, es decir, $x=\sqrt{2} \rho \cos\theta$, $y=2\rho \sin\theta$. Con ese cambio de coordenadas, $\rho$ varía entre 0 y 1, $\theta$ entre 0 y $2\pi$. $z$ va a variar entre $x^2$ y $4-x^4-y^2$, que con ese cambio de coordenadas resulta $2\rho^2\cos^2\theta \leq z \leq 4-2\rho^2(\sin^2\theta + 1)$. En el dibujo de Geogebra podés mover las barras de la izquierda que se llaman r y theta. El punto A del dibujo marca el punto de coordenadas $(\sqrt{2} \rho \cos\theta,2\rho \sin\theta,0)$ (es decir, el punto de la elipse en el piso). El punto $B$ es el punto correspondiente en la superficie $z=x^2$, mientras que el C es el que corresponde a $z=4-x^2-y^2$. Me parece que el dibujo te puede ayudar a convencerte que esas restricciones sobre dónde se pueden mover $x$, $y$ y $z$ (es decir, que $x$ e $y$ se mueven en la elipse y $z$ se mueve entre $x^2$ y $4-x^2-y^2$) efectivamente hacen que recorras el conjunto $D$ al que le querés calcular el volumen. Si eso te convence, calculando la integral con ese cambio de coordenadas (y acordándote de multiplicar por el determinante del jacobiano del cambio de variable!) deberías llegar al resultado de la solución.

En el canal de YouTube del curso está subida una clase de Alejandro Bellati del año pasado donde se hace este ejercicio. Capaz que mirarlo te ayuda.

Saludos