Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Hola. La derivada parcial según $x$ no existe en esos puntos porque ese último límite que planteaste da $\infty$ si $y_0\neq 0$.

Sobre la otra pregunta: la afirmación (C) dice que existen todas las derivadas parciales en $(0,0)$. La (A) es la que habla de la existencia de las derivadas parciales en un entorno del $(0,0)$. Cuando dice eso, quiere decir que existe UN entorno del $(0,0)$ tal que las derivadas parciales existen en todo punto de ese entorno. Formalmente, dice que existe un radio $r>0$ tal que para todo $(x_0,y_0)$ en la bola de centro $(0,0)$ y radio $r$ existen las derivadas parciales $\frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0)$ y $\frac{\partial f}{\partial y} (x_0,y_0)$.

Saludos