Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Hola. Calcular $f_{xy}(0,0)$ es calcular la derivada parcial respecto a $y$ en $(0,0)$ de la función $f_x$, la derivada parcial de $f$ respecto a $x$ (análogamente para $f_{yx}(0,0)$). Para $(x,y) \neq (0,0)$ la función $f_x$ puede calcularse simplemente derivando respecto a $x$ a $f$ en ese dominio (es decir, derivando respecto a $x$ la expresión $\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$). Para el $(0,0)$ la derivada parcial se calcula con el cociente incremental en la dirección $x$:

$\displaystyle f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} =0$

Ese límite es 0 ya que $f(h,0) = 0$ para todo $h$. Una vez que tenés la expresión de $f_x$, podés calcular la derivada parcial respecto a $y$ en $(0 ,0)$ planteando el cociente incremental en la dirección $y$ de $f_x$:

$\displaystyle f_{xy}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f_x(0,0+h)-f_x(0,0)}{h}$

Haciendo lo mismo con $f_y$ se calcula la otra derivada parcial.

Saludos