Hola, en se como encarar el ejercicio 5, no entiendo bien lo que se plantea en la solucion, espero me puedan dar una ayuda, gracias
Me sumo a la duda
Hola, te cuento como lo pensé yo. Llegué al resultado correcto, pero no estoy segura de que el razonamiento esté del todo bien.
En principio esta integral parece tener problemas en los dos extremos, pues en el de arriba se va a infinito, y en el de abajo vale 1, por lo que el denominador se te anula. Por eso en las soluciones arranca separandola en dos integrales. Ahora, para que la integral sea convergente, ambos sumandos deben serlo, entonces pasa a estudiar cada sumando por separado.
En el primer sumando fijate que el problema es que cuando x -> 0, ln(x) -> 0. Vos lo que querés, es llevar esa integral a la forma de una que sepas que es convergente. En las soluciones usa propiedades de los límites y equivalentes para llegar a una integral casi igual a una que ya clasificamos segun alfa en el teórico (clase 13 de OpenFing, de las de Fiori). De ahí concluye que si alfa < 1, esta integral converge.
En el segundo sumando, el problema es que estás en un intervalo infinito. Acá también querés ver para qué valores de alfa y beta, la integral "se parece" a una que sepas que es convergente. Por ejemplo, en el curso vimos que si la integral en el infinito "se parece" a 1/x^2, entonces converge. En este caso, ln(x)^alfa tiende a infinito para cualquier alfa, y lo mismo para (e^x - 1)^beta, por lo que ese denominador se va a infinito mucho más rápido que 1/x^2, y por ende esa integral converge para todo valor de alfa y para todo valor de beta (positivos).
En conclusión, basta con que alfa sea menor que 1, y alfa y beta positivos, para que la integral que te dan en el ejercicio sea convergente.
En principio esta integral parece tener problemas en los dos extremos, pues en el de arriba se va a infinito, y en el de abajo vale 1, por lo que el denominador se te anula. Por eso en las soluciones arranca separandola en dos integrales. Ahora, para que la integral sea convergente, ambos sumandos deben serlo, entonces pasa a estudiar cada sumando por separado.
En el primer sumando fijate que el problema es que cuando x -> 0, ln(x) -> 0. Vos lo que querés, es llevar esa integral a la forma de una que sepas que es convergente. En las soluciones usa propiedades de los límites y equivalentes para llegar a una integral casi igual a una que ya clasificamos segun alfa en el teórico (clase 13 de OpenFing, de las de Fiori). De ahí concluye que si alfa < 1, esta integral converge.
En el segundo sumando, el problema es que estás en un intervalo infinito. Acá también querés ver para qué valores de alfa y beta, la integral "se parece" a una que sepas que es convergente. Por ejemplo, en el curso vimos que si la integral en el infinito "se parece" a 1/x^2, entonces converge. En este caso, ln(x)^alfa tiende a infinito para cualquier alfa, y lo mismo para (e^x - 1)^beta, por lo que ese denominador se va a infinito mucho más rápido que 1/x^2, y por ende esa integral converge para todo valor de alfa y para todo valor de beta (positivos).
En conclusión, basta con que alfa sea menor que 1, y alfa y beta positivos, para que la integral que te dan en el ejercicio sea convergente.
Holaa, dale ahi entendi un poco mas como es el procedimiento, muchas gracias!!