Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Buenas Joel,

¡Lo tenés cocinado! Te falta rematar nada mas!

Acordate de la descomposición de $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$

Podemos hacer algo parecido a $\dfrac{1}{(n+1)\log(n^n)}=\dfrac{1}{(n)(n+1)\log(n)}$ es la misma idea que la factorización anterior pero multiplicamos por $\dfrac{1}{\log(n)}$

Entonces lo podemos escribir como: $\dfrac{1}{n\log(n)}-\dfrac{1}{(n+1)\log(n)}$

Ahora vamos a donde te quedaste vos:

$\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{(n+1)\log(n)} - \dfrac{1}{(n+1)\log(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)\log(n^n)}$

Sustituimos con nuestra factorización:

$\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{(n+1)\log(n)} - \dfrac{1}{(n+1)\log(n+1)} + \dfrac{1}{n\log(n)}-\dfrac{1}{(n+1)\log(n)}$

$=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{n\log(n)}- \dfrac{1}{(n+1)\log(n+1)}$

Y nos quedo una telescópica, que converge a $\dfrac{1}{2\log(2)}$

Utilizando la formula de cambio de base para logaritmos tenemos que:

$\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\log(2)}=\dfrac{1}{2}\log_2(e)=\log_2(\sqrt{e})$

Esta muy interesante el ejercicio, ¿Es de algún libro?

Saludos,
Franco.