Foro Práctico 5

Buenas Martina,

Busquemos algunos contraejemplos:

Si $\displaystyle \int_1^{\infty}f(x)dx$ converge y $f$ es derivable en $(1,+\infty) \Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=0$. Un contraejemplo es $f(x)=\sin(x^2)$

Si $\displaystyle \int_1^{\infty}|f(x)|dx$ converge $\Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=0$. Un contraejemplo es armarnos una función que valga por ejemplo constante 1 y que cada vez se hagan mas angostos los escalones, lo podes ver explicado en detalle en las notas del curso pagina 47.

Si $\displaystyle \int_1^{\infty}f(x)dx$ diverge y $f(x)\geq 0$ para todo $x\in[1,+\infty)$ y $f$ es decreciente $\Rightarrow \displaystyle \lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}\neq 0$. Un contraejemplo es $f(x)=\dfrac{1}{x}$

Saludos,
Franco.