En la ecuación lineal homogénea de primer orden tenemos, despejando,
![y'(x)/y(x)=-a(x) y'(x)/y(x)=-a(x)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/ce452ccf104cb1c48e731dabfc4cf546.png)
. Integrando en ambos lados y con un cambio de variable obtenemos que
![log(|y(x)|)=-A(x) + c log(|y(x)|)=-A(x) + c](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/63442cb51c5ffb6cdef4f5476830f753.png)
donde
![-A(x) +c -A(x) +c](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/08f8dfc87f40ce37eeaf4c5db1294501.png)
son todas las primitivas de
![-a -a](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/37caf0ee262229a9ddc60877eec6883f.png)
(variando
![c c](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png)
tenemos todas las primitivas).
Ahora bien, despejando tenemos
![|y(x)|=e^{-A(x)}e^{c} |y(x)|=e^{-A(x)}e^{c}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/7b60dfdf8dc96a92a85e60017d312994.png)
y
![y(x)=\pm e^{-A(x)}e^{c} y(x)=\pm e^{-A(x)}e^{c}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/141ffdc866f385f82fc9efd6bf8f4bd1.png)
. Acá tenemos expresadas todas las posibles soluciones (salvo la constante y(x)=0).
¿Dónde aparece la k? Como
![c c](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png)
es una constante arbitraria,
![e^c e^c](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/508e88c1bef3432434cf87cd29727a7e.png)
es una constante estrictamente positiva arbitraria. Luego
![\pm e^c \pm e^c](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/d15433d068c8750dfd8a6af5cadf16f8.png)
es una constante no nula arbitraria. En lugar de poner
![\pm e^{c} \pm e^{c}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/3ff71a58d4de0c031a4e393aa473c0b9.png)
como constante no nula arbitraria, escribimos
![k k](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
como constante no nula arbitraria. Ya sea moviendo
![k k](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
o moviendo
![c c](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png)
obtenemos todas las soluciones.
Con esta escritura tenemos que las soluciones se escriben como
![y(x)=ke^{-A(x)} y(x)=ke^{-A(x)}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/ffa5275a159440eee0c110daffbb4502.png)
donde
![k k](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
constante real arbitraria no nula. Como último detalle, si le permitimos a
![k k](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
ser nula, conseguimos la solución constante igual a 0, es decir, moviendo
![k k](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
en todos los reales obtenemos todas las soluciones.
En definitiva, la constante
![k k](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
es un parámetro que hace referencia a los posibles valores
![\pm e^c \pm e^c](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/d15433d068c8750dfd8a6af5cadf16f8.png)
donde
![c c](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png)
viene de las posibles elecciones de primitivas de
![-a -a](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/37caf0ee262229a9ddc60877eec6883f.png)
.