Foro: parciales y exámenes

Hola, Carolina. Primero vamos a ver cómo queda la función $f (\alpha)$, porque en la imagen queda un poco borrosa:

$f(\alpha) = \dfrac g l \dfrac { \{ 2 (\sin \alpha_0 - \sin \alpha) + \cos \alpha_0 - \cos \alpha\}}{4/3 + \sin^2 \alpha}$

con $\alpha_0 = \pi /4$. Al evaluar en este ángulo al final se usa

$\sin \alpha_0 = \cos \alpha _0 = \dfrac 1 {\sqrt 2}$

Para derivar una función que tiene una expresión tan larga, yo prefiero aplicar la regla de "derivada de un cociente" modificada para que parezca la "derivada de un producto":

$\left ( \dfrac u v \right ) ' = \left ( u \dfrac 1 v \right )' = u' \dfrac 1 v + u \left (\dfrac 1 v \right ) '= \dfrac {u'} v - \dfrac u {v^2} v'$

En la función $f(\alpha)$, el factor $g/l$ queda multiplicando aparte de la derivación. El numerador y el denominador quedan

$u(\alpha) = 2(\sin \alpha_0 - \sin \alpha) + \cos \alpha_0 - \cos \alpha$

$v(\alpha) = 4/3 + \sin^2 \alpha$

Una observación interesante ayuda a evaluar al final: $u(\alpha_0) = 0$

Con este planteo y la "regla de derivadas" anterior, obtengo

$\dfrac {df} {d\alpha} = \dfrac g l \dfrac {\{-2 \cos \alpha + \sin \alpha \}}{4/3 + \sin^2 \alpha} - \dfrac g l \dfrac { \{ 2(\sin\alpha_0 - \sin \alpha)+\cos \alpha_0 - \cos \alpha \} }{(4/3 + \sin^2 \alpha)^2} \times 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Como último paso queda evaluar en en $\alpha = \alpha_0 = \pi/4$. El último término se anula, y nos queda

$\left .{\dfrac {df}{d\alpha}}\right |_{\alpha=\alpha_0}= \dfrac g l \dfrac {(-2/\sqrt2 + 1/\sqrt 2)} {4/3 + 1/2} = \dfrac {-1/\sqrt2} {4/3 + 1/2}\dfrac g l$

Es CASI igual que en la solución publicada, pero falta por 1/2!! ups!! Es un error en la solución, pero lo que importa aquí es el signo de este resultado para estudiar la estabilidad. Por eso, el factor 1/2 faltante no afecta la conclusión.

No sé cuál calculadora de derivadas usas. No es que yo sea un gran conocedor, pero wolframalpha se defiende bastante bien. Pero meter fórmulas complicadas se difícil... y luego hay que hacer la evaluación!

Saludos,
NC