Hola, Matías. Tu pregunta brinda una buena oportunidad para aclarar el cálculo.
La propiedad de que sobreviven los términos de igual versor es una consecuencia de que estos vectores son perpendiculares entre sí, y por eso su producto escalar es nulo.
El resultado general surge de aplicar que el producto escalar respeta la propiedad distributiva. Si tenemos un vector arbitrario escrito como la suma de otros dos,
,
su módulo (al cuadrado) se puede obtener desarrollando el producto escalar (prop. distributiva):
![|\vec v |^2 = \vec v \cdot \vec v = (\vec v_1 + \vec v_2)\cdot (\vec v_1 + \vec v_2) = |\vec v |^2 = \vec v \cdot \vec v = (\vec v_1 + \vec v_2)\cdot (\vec v_1 + \vec v_2) =](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/fb650f6d2692664b81c488cbc45d167d.png)
La propiedad de que sobreviven los términos de igual versor es una consecuencia de que estos vectores son perpendiculares entre sí, y por eso su producto escalar es nulo.
El resultado general surge de aplicar que el producto escalar respeta la propiedad distributiva. Si tenemos un vector arbitrario escrito como la suma de otros dos,
![\vec v = \vec v_1 + \vec v_2 \vec v = \vec v_1 + \vec v_2](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/ac301171fef67c65d228b1e816859d85.png)
su módulo (al cuadrado) se puede obtener desarrollando el producto escalar (prop. distributiva):
![|\vec v |^2 = \vec v \cdot \vec v = (\vec v_1 + \vec v_2)\cdot (\vec v_1 + \vec v_2) = |\vec v |^2 = \vec v \cdot \vec v = (\vec v_1 + \vec v_2)\cdot (\vec v_1 + \vec v_2) =](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/fb650f6d2692664b81c488cbc45d167d.png)
![= |\vec v_1|^2 + 2 \vec v_1 \cdot \vec v_2 + |\vec v_2|^2 = |\vec v_1|^2 + 2 \vec v_1 \cdot \vec v_2 + |\vec v_2|^2](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/2ddec9e82fcabe0f46dbe0da5d9f7e44.png)
En definitiva, el razonamiento es el mismo que para el producto del binomio, pero con producto escalar.
Recuerda que, finalmente,
![\vec v_1 \cdot \vec v_2 = 0 \vec v_1 \cdot \vec v_2 = 0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/bf9d790c8a42efd70f7b7b32278b3bff.png)
y su módulo (al cuadrado) se calcula a través de