MecNew: Febrero 2015, ejercicio 2

Bunas, en la parte B de este ejercicio, en las soluciones al calcular la velocidad del centro de masas al cuadrado, se lo plantea como el producto escalar de la velocidad consigo misma, sin embargo al hacer los cálculos lo desarrolla como un cuadrado de binomio común. Tengo entendido que al hacer el producto escalar solo "sobreviven" los términos de igual versor por lo que no me queda un termino cruzado que en las respuestas si aparece. Quería saber si es un error o si el producto lo hago como un cuadrado de binomio.

Muchas gracias

Re: Febrero 2015, ejercicio 2

de Nicolás Casaballe - viernes, 16 de julio de 2021, 19:14

Hola, Matías. Tu pregunta brinda una buena oportunidad para aclarar el cálculo.

La propiedad de que sobreviven los términos de igual versor es una consecuencia de que estos vectores son perpendiculares entre sí, y por eso su producto escalar es nulo.

El resultado general surge de aplicar que el producto escalar respeta la propiedad distributiva. Si tenemos un vector arbitrario escrito como la suma de otros dos,

$\vec v = \vec v_1 + \vec v_2$ ,
su módulo (al cuadrado) se puede obtener desarrollando el producto escalar (prop. distributiva):

$|\vec v |^2 = \vec v \cdot \vec v = (\vec v_1 + \vec v_2)\cdot (\vec v_1 + \vec v_2) =$

$= \vec v_1 \cdot \vec v_1 +\vec v_1 \cdot \vec v_2 +\vec v_2 \cdot \vec v_1 +\vec v_2 \cdot \vec v_2 =$

$= |\vec v_1|^2 + 2 \vec v_1 \cdot \vec v_2 + |\vec v_2|^2$

En definitiva, el razonamiento es el mismo que para el producto del binomio, pero con producto escalar.

Recuerda que, finalmente,

$\vec v_1 \cdot \vec v_2 = 0$ solo cuando alguno de los vectores es nulo o cuando son perpendiculares. El caso habitual sucede cuando se plantea un vector a partir de sus componentes de en una base ortonormal. Por ejemplo, en coordenadas cartesianas en el plano, un vector cualquiera se escribe como

$\vec v = \vec v_x + \vec v_y = v_x \hat i + v_y \hat j$

y su módulo (al cuadrado) se calcula a través de

$|\vec v|^2 = v_x^2 + v_y^2$

porque las componentes x,y son perpendiculares y

$\vec v_x \cdot \vec v_y = 0$ .

Para pensar: ¿se puede generalizar el planteo si hay tres vectores, o sea

$\vec v = \vec v_1 + \vec v_2 + \vec v_3$ ? ¿Qué pasos hay que dar para hallar el módulo de un vector en un espacio de tres dimensiones?

Saludos,
NC