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Hola, efectivamente creo que te mareaste con los versores. El planteo está bien, el tensor y steiner bien aplicados.

Pero interpretaste mal el movimiento, en tus hojas hay dos dibujos, el segundo está mal. El ángulo $\theta$ está definido entre la dirección vertical y la dirección de tu versor $\hat{u}$, pero esos dos versores estan contenidos en el plano de tu primer dibujo. Nunca se separa la placa del eje de rotación. El ángulo de tu segundo dibujo no es $\theta$ y siempre es cero ese ángulo en este problema. Tu versor $\hat{w}$ siempre está perpendicular a $\hat{K}$ por lo que tenés que revisar esa descomposición.
Saludos