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Las posiciones de equilibrio relativo en este ejercicio son 0 y $\pi$ (no $\frac{ \pi }{2}$). Y no sé de dónde obtuviste esa energía potencial pero no es correcta. Eso que escribís vos es la aceleración angular $\ddot{ \varphi }$, que no es la energía potencial efectiva. 

La energía potencial efectiva (para la frecuencia angular dada) es: 

a menos de una constante. Para obtenerla tenés que preintegrar la ecuación de movimiento. Una alternativa es plantear el teorema de la energía en el sistema relativo (en que la reacción es de potencia nula). Las otras dos fuerzas que aparecen son conservativas: la elástica del resorte y la fuerza ficticia de arrastre que es centrífuga. Sus energías potenciales (a menos de constantes) tienen la misma forma pero con signos diferentes. Para la frecuencia angular dada gana la fuerza ficticia centrífuga. Por eso la posición en $\varphi = 0$ es estable. 

Lo que creo que querés hacer es plantear que la ecuación de movimiento a partir de esa ley de conservación te daría: 

Pero entonces la derivada de la energía potencial efectiva respecto a $\varphi$ te debería quedar proporcional a sen$\varphi$ y no - sen$\varphi$. 

Saludos: 

Ricardo.