Teórico de Completitud - Lógica Proposicional

Hola Tomás, intento hacer un resumen con los distintos conjuntos y como
construirlos:

* Teorías (todo lo que derivo de una teoría, estaba en la teoría):

  Si te piden dar un teoría, podés dar el Cons(Γ) para el Γ que
  necesites. Cons siempre te da teorías.


* Completo (consistente y para cualquier fórmula φ, o bien derivo φ o
  derivo ¬φ del conjunto):

  Acá conviene usar la caracterización semántica:

  Γ es completo sii existe una única valuación v tal que v(Γ)=1

  Para dar un conjunto completo te tenés que asegurar que estén
  consideradas todas las letras proposicionales o sus negaciones.

  Por ejemplo {pₒ,p₁,...pₙ,...}, {¬p₀,¬p₁,...,¬pₙ,...},
  {¬p₀,p₁,¬p₂...,¬p₂ₙ,p₂ₙ₊₁,...} son todos completos, pero
  {p₀,p₂,...,p₂ₙ,...} no.

  Ojo que por ejemplo {p₀}U{pᵢ→pᵢ₊₁, ∀i∈N} también es completo, porque
  la única valuación que lo satisface es la que hace 1 a todas las
  letras proposicionales.

 
* Consistente maximal (es consistente, y si le agrego algo nuevo se
  vuelve incosistente):

  Una forma es dar un conjunto que sea teoría y completo. El cons de un
  completo cumple esto. Por ejemplo, P={pₒ,p₁,...pₙ,...} (el conjunto de
  letras proposicionales) como vimos es completo. Entonces cons(P) es
  consistente maximal.

  Por otra parte, en el teórico vimos que se puede construir un conjunto
  Γ* CM a partir de cualquier Γ (lema 1.6.7). Así que si te dan un Γ
  consistente, podés usar el lema 1.6.7 y decir que existe un Γ* que lo
  incluye y que es consistente maximal.


Seguro que hay otras formas de armar los conjuntos y dependiendo del
ejercicio te va a convenir usar o combinar distintas cosas. Pero lo
básico es más o menos esto. Espero que ayude.


Saludos,

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Juan Diego Campo
Instituto de Computación
Facultad de Ingeniería - UdelaR