Estimada:
En los ejercicios de movimiento central, independientemente de si la fuerza es isotrópica o no, trabajar en coordenadas cilíndricas o esféricas es lo mismo, siempre que estas estén convenientemente elegidas. Esto es porque como se conserva el momento angular (en particular su dirección) el movimiento tiene que ser plano (la partícula se mantiene siempre en el mismo plano fijo). Observá que en este ejercicio el momento angular inicial es según el versor 
de coordenadas cilíndricas. Por lo tanto el plano de movimiento es el plano z = 0 (en coordenadas cilíndricas) o θ = π/2 (en coordenadas esféricas). Y en ese plano ambos sistemas de coordenadas se reducen a coordenadas polares planas.
En definitiva, podés trabajar en coordenadas cilíndricas en el plano z = 0. Pero es lo mismo que trabajar en coordenadas esféricas con θ = π/2.
Lo que te pide esa parte del ejercicio es demostrar que a pesar de que la fuerza no es isotrópica, y no es conservativa (por lo que no se conserva la energía), igual sigue valiendo la segunda ecuación de Binet. Para ello tenés que proyectar la segunda ley de Newton según la dirección radial, sustituir el 
que obtenés de la conservación del momento angular, y luego hacer el cambio de variable sugerido. Como decía antes, es esencialmente lo que se hace para hallar la segunda ecuación de Binet.
Saludos:
Ricardo.