Ej 5.1

Ej 5.1

de Maria Sofia Maderna Mourigan -
Número de respuestas: 8

buenas, no logro comprender en este caso cuando tengo multiplicidad algebraica 3 y geométrica 1 como calcular la matriz cambio de base de jordan.

saludos,

               Sofía

En respuesta a Maria Sofia Maderna Mourigan

Re: Ej 5.1

de Ana González -
Hola María.
Voy a tratar de explicarte una forma de hacerlo en un ejemplo. Supongamos que tenemos que la forma de Jordan de una transformación T lineal es J_T=\left(\begin{array}{ccc}\lambda&0&0\\1&\lambda&0\\ 0&1&\lambda\end{array}\right)
Justamente un caso como mencionas, ma(\lambda)=3 y mg(\lambda)=1. La pregunta es como hallar una base \mathcal{B}=\{v_1,v_2,v_3\} de V tal que {}_{\mathcal{B}}(T)_{\mathcal{B}}=J_T.
Primero veamos que deben de cumplir los vectores de la base: por como es la matriz de Jordan se deduce que 
T(v_1)=\lambda v_1+v_2 \Rightarrow (T-\lambda Id)(v_1)=v_2
T(v_2)=\lambda v_2+v_3 \Rightarrow (T-\lambda Id)(v_2)=v_3
T(v_3)=\lambda v_3 \Rightarrow (T-\lambda Id)(v_3)=0
Por lo tanto, v_2 y v_3 están dados a partir de v_1. Por lo cual basta hallar v_1 para poder determinar la base.
Ahora, veamos como encontrar v_1: sustituyendo v_2 en la segunda condición obtenemos que
(T-\lambda Id)(T-\lambda Id)(v_1)=(T-\lambda Id)^2(v_1)= v_3, 
sustituyendo en la tercer ecuación:
(T-\lambda Id)(T-\lambda Id)^2(v_1)=(T-\lambda Id)^3(v_1)=0 \Rightarrow v_1\in N(T-\lambda Id)^3=S_\lambda^3
La conclusión es que v_1 es un vector propio generalizado de orden 3 asociado a \lambda.
  
En respuesta a Ana González

Re: Ej 5.1

de Daniel Edgardo Pellejero Morales -
Hola, a mi me queda una duda ¿Como llegas de T(v1)=λv1+v2 a (T−λId)(v1)=v2?
En respuesta a Daniel Edgardo Pellejero Morales

Re: Ej 5.1

de Marco Antonio Perez -
Hola, Daniel:

El vector \lambda v_1 puedes verlo como \lambda \ {\rm Id}(v_1) (la identidad aplicada a v_1 y multiplicada por \lambda). Se hace esto así para poder despejar para llegar a la segunda igualdad.

Saludos,
Marco
En respuesta a Marco Antonio Perez

Re: Ej 5.1

de Daniel Edgardo Pellejero Morales -
Gracias, entendí, pero no me queda claro que v1 sea vector propio generalizado de orden 3 asociado a λ, la matriz de ese espacio es la matriz nula por lo tanto cualquier vector que tome ¿Es un vector propio?
En respuesta a Daniel Edgardo Pellejero Morales

Re: Ej 5.1

de Marco Antonio Perez -
Daniel,

(A - 2 \ I)^3 = 0 (A la matriz asociada a T en la base canónica) por el teorema de Cayley - Hamilton. Esta matriz no te va a servir para hallar la base de Jordan. Puedes hallar v_1 y v_2 una vez obtengas v_3, resolviendo los sistemas (no homogéneos) (A - 2 \ I)^2(v_1) = v_3 y (A - 2 \ I)(v_2) = v_3.
En respuesta a Marco Antonio Perez

Re: Ej 5.1

de Juan Carlos Del Real Gutierrez -
Hola, yo no entiendo como encarar este ejercicio desde el principio. Tengo 3 subespacios invariantes y me piden saber si T es diagonalizable. Debería tomar un vector de cada subespacio y armar una matriz asociada y trabajar con dicha matriz? o hay algún análisis previo que se pueda hacer antes de trabajar con la matriz asociada?

También me queda la duda si tengo que tener 1 matriz por cada subespacio, y que en las 3 matrices se debe cumplir que sea diagonalizable, o con una sola es suficiente?

Cada subespacio dado tiene dimensión 2 por lo que veo entonces no entiendo como seguir

Gracias
En respuesta a Juan Carlos Del Real Gutierrez

Re: Ej 5.1

de Marco Antonio Perez -
Hola, Juan:

Lo que pregunta el ejercicio es hallar la forma de Jordan de T y una base de Jordan. Es decir, calcular la matriz asociada a T y determinar su forma de Jordan. Esto lo haces primero calculando los valores propios y después los subespacios propios asociados. Cada valor propio determina un bloque de Jordan en la forma de Jordan. La multiplicidad algebraica del valor propio determina el tamaño de dicho bloque de Jordan, y su multiplicidad algebraica el número de sub-bloques de Jordan dentro del bloque de Jordan. Juntando los bloques de Jordan dentro de una matriz te queda la forma de Jordan. La base la calculas teniendo en cuenta que la columna i-ésima son las coordenadas de T(v_i) en la base de Jordan, donde v_i es el i-ésimo vector en dicha base.

Saludos,
Marco